Decir, tenemos dos $2^n$-ágonos: uno, inscrito en un círculo unitario y otro circunscrito alrededor del círculo unitario. Después de usar algunos conceptos básicos de la geometría y de los límites, llegamos a la siguiente resultado:
$$ \begin{align} \lim_{n\to \infty} \mbox{(perimeter of the inscribed %#%#%-gon)} &= \lim_{n\to \infty} \mbox{(perimeter of the circumscribed %#%#%-gon)} \\ &:= 2\pi \end{align} $$
Sin embargo, ahora (al menos según mi profesor), no se nos permite concluir que el perímetro del círculo unitario sí mismo es igual a $2^n$, porque tenemos la mostró para $2^n$-ágonos y tal vez algunas otras aproximaciones nos daría resultado diferente.
Ahora lo que si estamos interesados en las áreas?
$$ \begin{align} \lim_{n\to \infty} \mbox{(area of the circumscribed %#%#%-gon)} &= \lim_{n\to \infty} \mbox{(%#%#% area of the triangle)} \\ &= \lim_{n\to \infty} (2^n \frac{1 \times s_n}{2}) \\ &= \lim_{n\to \infty} \mbox{(%#%#% perimeter of the circumscribed %#%#%-gon)} \\ &= \frac{1}{2} \times 2\pi \mbox{ (using the result above)} \\ &= \pi \end{align} $$
De manera similar (pero con un poco más involucrado con la geometría):
$2\pi$2^n$2^n$$
Mi pregunta es: ¿ahora nos permitió concluir que el área del círculo unitario es igual a $2^n$? O tenemos un problema similar, como el uno (con perímetros) se ha descrito anteriormente?
Cualquier ayuda es muy apreciada.
