Si $A$ es el rango de columna completa, entonces $A^TA$ siempre es inversible

Question

Necesito demostrar que

Si $A$ es el rango de columna completa, $A^TA$ siempre es inversible.

Sé cuando una matriz de $m \times n$ es el rango de columna completa, entonces sus columnas son linealmente independientes. Pero nada más para probar el teorema anterior. Le agradeceria si me podrian dar algunos consejos.

Answer 1

Es suficiente para demostrar eso si $A^T A x = 0$ % vector $x$, entonces el $x = 0$. Si $A^T A x = 0$ y $$0 = x^T A^T A x = (Ax)^T(Ax) = \langle Ax, Ax \rangle = \lVert Ax \rVert^2,$ $, que por otra parte implica que el $Ax = 0$, así que ya que la fila completa, $A$ $x = 0$.