Paquete del vector tautológica sobre $G_1(\mathbb{R^2})$ isomorfo al paquete de Möbius

Question

Deje $V$ ser finito dimensional espacio vectorial, y deje $G_k(V)$ ser el Grassmannian de $k$-dimensiones de los subespacios de $V$. Deje $T$ ser el separe la unión de todas estas $k$-dimensiones de los subespacios y dejar $\pi:T\rightarrow G_k(V)$ ser el natural de mapa de envío de cada punto de $x \in S$$S$. A continuación, $T$ tiene un único suave colector de la estructura de decisiones es en un buen rango-$k$ vector paquete de más de $G_k(V)$, $\pi$ como proyección y con la estructura de espacio vectorial en cada fibra heredado de $V$. $T$ se llama la tautológica vector paquete de más de $G_k(V).$

Lo que quiero demostrar es que tautológica vector paquete de más de $G_1(\mathbb{R^2})$ es isomorfo a Möbius paquete.

(Este es un problema de Introducción a la Suave Colectores por Lee y Möbius paquete se define como se Lee en el libro, página 105. También me llevó a la definición de la tautológica vector paquete de más de $G_k(V)$ Lee el libro).

Answer 1

Como @Sam $G_1(\mathbb{R^2}) \cong \mathbb{RP^1} \cong \mathbb{S^1}$. Ahora, no es tan difícil escribir un isomorfismo paquete lisa.