Asignación uno a uno desde $\mathbb{R}^4$ $\mathbb{R}^3$

Question

Estoy tratando de definir una asignación de $\mathbb{R}^4$ $\mathbb{R}^3$ que lleva el toro plano a un toro de revolución.

Donde el toro plano se define en $x(u,v) = (\cos u, \sin u, \cos v, \sin v)$. Y el toro de revolución en $x(u,v) = ( (R + r \cos u)\cos v, (R + r \cos u)\sin v, r \sin u)$.

Creo que sería un mapa apropiado: $f(x,y,z,w) = ((R + r x)z, (R + r x)w, r y)$ donde $R$, $r$ son las constantes superiores al $0$.

Pero ahora estoy teniendo problemas que muestra es uno a uno.

Answer 1

Calcular el Jacobians de las dos asignaciones. Voy a llamar a su primera asignación $X(u, v)$ a fin de no volver a usar la variable $x$. Deje $R > r > 0$.

$$\frac{\partial X}{\partial(u, v)} = \left[ \begin{array}{cc} -\sin u & 0 \\ \cos u & 0 \\ 0 & -\sin v \\ 0 & \cos v \end{array} \right] $$

$$\frac{\partial f}{\partial(x, y, z, w)} = \left[ \begin{array}{cccc} rz & 0 & R + rx & 0 \\ rw & 0 & 0 & R + rx \\ 0 & r & 0 & 0 \end{array} \right] $$

La incrustación en $\mathbb{R}^3$ es la compuesta $f \circ X$, cuyo Jacobiano es el producto de la Jacobians:

$$ \frac{\partial f}{\partial(x,y,z,w)}\frac{\partial X}{\partial(u,v)} = \left[ \begin{array}{cc} -rz\sin u & -(R + rx)\sin v \\ -rw\sin u & (R+rx)\cos v \\ r\cos u & 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} -r\cos v\sin u & -(R + r\cos u)\sin v \\ -r\sin v\sin u & (R+r\cos u)\cos v \\ r\cos u & 0 \end{array} \right] $$

(He utilizado el sabio notebook www.sagenb.org para mi los cálculos.)

Ahora, todas las preguntas sobre 1-a-1 puede ser expresada en términos de rango y la nulidad de estas matrices. Por ejemplo, es fácil ver la primera y la tercera matrices tienen rango 2 (así nulidad=0) para todas las opciones de $u, v$, (que muestra tanto las representaciones del toro son de inmersión, es decir, una restricción adecuada de dominio hará que los mapas 1-a-1).

Ahora $f$ es 1-a-1 cuando se limita a $\mathrm{im} X$ (el plano toro) debido a $f \circ X$ es inmersiva y por la restricción de a $u, v \in [0, 2\pi)$ ambos $f$ $f \circ X$ se convierten en 1-a-1. En otras palabras, si $f( X(u,v) ) = f(X(u', v'))$,$X(u,v) = X(u', v')$.

Espero que esto ayude!

Answer 2

Shaun respuesta es insuficiente, ya que hay inmersiones que no son de 1-1. Por ejemplo, la figura 8 es una inmerso círculo. También, el toro se cubre y cubriendo todos los mapas son de inmersiones. http://en.wikipedia.org/wiki/Immersion_(matemáticas)

Su parametrización del toro de la rotación es el mismo que en http://en.wikipedia.org/wiki/Torus sólo tienes que notar que el periodo mínimo en las dos coordenadas de la $uv$ plano es el mismo $2\pi$ en el caso de los planos y girar tori.

Answer 3

¿Necesita dar explícitamente el mapa o piden probar que ambos conjuntos tienen el mismo cardinilty?

Si no, es un buen ejercicio para probar $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^2$ son ambos del mismo tamaño (Teorema de Schroeder-Bernstein - considerar expansiones decimales para mostrar un surjection) entonces a través de la inducción y el hecho de ambos conjuntos son subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ vemos que hay un bijection entre ellos. Encontrar explícitamente que una biyección no me queda claro, tal vez es otra persona.