Redes: ¿conjuntos preordenados o posets?

Question

Pregunta: Por lo general, la red se define como una función desde un conjunto dirigido conjunto preordenado a un espacio topológico. ¿Qué perderíamos o ganaríamos si trabajáramos sólo con conjuntos dirigidos parcialmente ordenados?

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Antecedentes y motivación

Para mí, una de las propiedades más importantes de redes en espacios topológicos es la siguiente:

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico, $x\in X$ y $A\subseteq x$ . Entonces $x\in\overline A$ si y sólo si existe una red $(x_d)_{d\in D}$ tal que $x_d$ converge a $x$ y $x_d\in A$ para cada $d\in D$ .

La propiedad anterior significa que la topología de $X$ se determina de forma única determinado por la convergencia de las redes.

La propiedad anterior sería cierta también si trabajáramos sólo con redes en posets dirigidos.

En efecto, dejemos que $x\in\overline A$ . Sea $\mathcal N_x$ sea el conjunto de todas las vecindades abiertas abiertos de $x$ . Entonces $D=(\mathcal N_x,\supseteq)$ es un poset, que es dirigido. Para cualquier $U$ elija un elemento $x_U\in A\cap U$ . Entonces la red $(x_U)_{U\in\mathcal N_x}$ converge a $x$ .

Así que, si no me he equivocado en esta demostración, la propiedad anterior es cierta también si trabajamos sólo con redes en posets.

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En algunas construcciones es útil que se nos permita trabajar con redes sobre conjuntos preordenados. Una de ellas es construir una red correspondiente a un filtro dado $\mathcal F$ tal que esta red converge a $x$ si y sólo si el filtro $\mathcal F$ hace. Aquí la red en el set $\{(A,a); a\in A\in \mathcal F\}$ preordenado por $$(A,a)\le (B,b) \Leftrightarrow A\supseteq B$$ y se trata efectivamente de un conjunto preordenado, no de un conjunto parcialmente ordenado. Véase la parte sobre la correspondencia de redes y filtros en P. Notas de L. Clark sobre la convergencia para más detalles y otras construcciones relacionadas. De hecho, P. L. Clark escribe aquí que este "justifica nuestra disposición a considerar conjuntos cuasi-ordenados dirigidos". (Esto responde en cierta medida a mi pregunta. Pero supongo que los autores que trabajan con posets también tienen algunas razones para hacerlo).

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Otro posible punto de vista:

Para cualquier clase $\mathcal C$ de conjuntos dirigidos podemos definir la clase de espacios topológicos definidos por la propiedad:

$V$ está cerrado en $X$ si y sólo si $V$ es cerrado con respecto a los límites de las redes en el conjunto dirigido de $\mathcal C$ .

• Si $\mathcal C$ = todos los conjuntos dirigidos, entonces obtenemos todos los espacios topológicos.

• Si $\mathcal C=\{\mathbb N\}$ , entonces obtenemos espacios secuenciales

• Si $\mathcal C=$ conjuntos bien ordenados o $\mathcal C=$ conjuntos linealmente ordenados, entonces obtenemos espacios pseudorradiales

Así que en este contexto podemos ver esta pregunta como la pregunta que obtenemos si $\mathcal C$ =posets dirigidos (lo que parece bastante natural, después de ver que varias clases de espacios surgen de esta manera).

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Repasando la literatura y también las búsquedas rápidas en Google, se ve que bastantes autores utilizan posets y no conjuntos preordenados.

• red de topología preordenada

• preorden de la red topológica

• topología red poset

• red de topología "parcialmente ordenada"

Podría mencionar algunos libros que utilizan posets:

• Munkres: Topology, Supplementary Exercises after Chapter 3, p. 187 en la 2ª edición. (Aunque no presta mucha atención a las redes - se dejan como ejercicios suplementarios).

• Runde: Un gusto de la topología, véase la definición 1.3.3 en p.18 y la definición 3.2.8 en p.73

• Bukovský: La estructura de la línea real p.32

Answer 1

En los espacios de Hausdorff, probablemente perdemos poco en cualquier caso. En el entorno de "orden parcial" requerimos el axioma de elección más a menudo. (¿Has visto "elegir" en tu escrito? Ahora haz lo mismo SIN el axioma de elección...)

Hay más de un artículo en el que el autor afirma que algo no funciona para las redes (para justificar su uso de los filtros) exigiendo incorrectamente la versión de orden parcial del conjunto dirigido.

Un uso de las redes (de hecho, la original uso por Moore y Smith) es explicar la convergencia utilizada en la definición de la integral de Riemann, donde se tiene una suma de Riemann para cada partición etiquetada de un intervalo, y se dirigen por refinamiento, permitiendo cualquier elección de etiquetas. ¡Sólo por encargo!

añadido
Esto surgió de nuevo, así que permítanme ampliar mi comentario sobre los espacios no-Hausdorff, y evitar el axioma de elección (AC).

Dejemos que $(X, \mathscr X)$ y $(Y, \mathscr Y)$ sean espacios topológicos, y que $f : X \to Y$ sea una función, y que $a \in X$ . Para $a \in X$ dejar $\mathscr X_a = \{U \in \mathscr X : a \in U\}$ sea el conjunto de vecindades abiertas abiertos de $a$ ; de forma similar para $\mathscr Y_b$ . Decimos que $f$ es continua en $a$ si:

por cada $V \in \mathscr Y_{f(a)}$ existe $U \in \mathscr X_a$ tal que $f(U) \subseteq V$ .

Pero si nos gusta usar redes, queremos decir: esto es equivalente a

por cada red $(p_d)_{d \in D}$ en $X$ , si $p_d \to a$ entonces $f(p_d) \to f(a)$ .

Para evitar el AC lo hacemos así: Supongamos que $f : X \to Y$ es discontinuo en $a$ . Queremos encontrar una red con $p_d \to a$ pero $f(p_d) \not\to f(a)$ . Fácil: Deja que $$ D = \big\{(U,x) : x \in U, x \in U \in \mathscr X_a\big\} \tag1$$ ordenado por $$ (U_1,x_1) \le (U_2, x_2) \quad\Longleftrightarrow\quad U_1 \supseteq U_2. \tag2$$ Esto es dirigido porque: la intersección de dos conjuntos abiertos es abierta. [Aquí evitamos el AC; no elegimos un elemento de $U$ En lugar de eso, utilizamos todos los elementos].

Definir una red $(p_d)_{d \in D}$ por $p_{(U,x)} = x$ . Entonces podemos mostrar $x_d \to a$ . De hecho, teniendo en cuenta $U \in \mathscr X_a$ tenemos $p_d \in U$ para todos $d \ge (U,a)$ .

También reclamamos $f(p_d) \not\to f(a)$ . Suponemos que $f$ es discontinuo en $a$ . Así que hay $V$ con $f(a) \in V \in \mathscr Y_{f(a)}$ pero para cualquier $U \in \mathscr X_a$ tenemos $f(U) \not\subseteq V$ . Es decir: hay $(U,y) \in D$ con $f(p_{(U,y)}) \notin V$ .

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Observaciones. Obsérvese que, en un espacio no Hausdorff, puede ocurrir que exista un conjunto abierto mínimo con más de un elemento. La construcción anterior sigue funcionando. Pero el conjunto dirigido ( $1$ ) ordenados por ( $2$ ) no está parcialmente ordenada. Sólo está cuasi-ordenado.

El material originario sobre redes (Birkhoff 1950, luego Kelley 1955) utilizaba conjuntos dirigidos cuasi ordenados, por lo que todo funcionaba. Los lectores posteriores de sus exposiciones a veces no se han dado cuenta de ello.