Consecuencia de Cauchy Schwarz en $\mathscr{L}^2$ ?

Question

Si $f,g\in \mathscr{L}^2$ entonces $\|fg\|_1\leq\|f\|_2\|g\|_2$ . Mi libro de texto dice que esto es una consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

¿Cómo es eso? Cauchy-Schwarz dice que $|\langle v,w\rangle|\leq\|v\|\|w\|$ . Poner en $f$ y $g$ tenemos $$\left|\int_X f\overline{g}d\mu\right|\leq \|f\|_2\|g\|_2$$

Pero $$\|fg\|_1=\int_X|fg|d\mu$$

Así que no veo cómo $\|fg\|_1\leq\|f\|_2\|g\|_2$ es una consecuencia de Cauchy-Schwarz.

Answer 1

Multiplicar $f$ por $e^{\alpha(x)}$ , donde $\alpha$ se elige para hacer $f\bar g$ real y positiva, y utilizar la desigualdad de Cauchy en $e^\alpha f$ y $g$ . El lado derecho sigue siendo el mismo, pero el lado izquierdo se convierte en $\int e^{\alpha}f\bar g = \int |e^{\alpha}f\bar g|=\int |f\bar g|$ .

Tal vez quieras pensar por qué $e^{\alpha(x)}$ es medible.