Esto puede ser una pregunta muy ingenua y pido disculpas de antemano.
Supongamos que $n$ es un número entero positivo que no se puede escribir como suma de tres cuadrados $a^2+b^2+c^2$ $a,b,c\in\mathbb{Z}$ de números enteros.
¿Sigue que $n$ no se puede escribir como suma de tres cuadrados $a'^2+b'^2+c'^2$ % racionales $a',b',c'\in\mathbb{Q}$? ¿Por qué?
Es relativamente fácil de contestar; un entero positivo es la suma de tres cuadrados si y sólo si es que no de la forma $4^k (8n +7).$ O, más útiles para nosotros, si y sólo si no es $4^k m$ $m \equiv 7 \pmod 8.$
Si usted tiene la suma de tres racional de los cuadrados igual a ese número, llame a $t,$, entonces podemos multiplicar a través de la plaza del mínimo común denominador, que obliga a todo ser números enteros, así que tenemos todos los números enteros en $x^2 + y^2 + z^2 = t L^2.$, $L$ factores como algún poder de $2$ veces un número impar, así que vamos a $L = 2^r s $ con extraña $s.$ poco importante es que $s^2 \equiv 1 \pmod 8$ (). Por eso, $L^2 = 4^r s^2.$
Finalmente, sabíamos $t = 4^km$ $m \equiv 7 \pmod 8,$ porque $t$ no fue íntegramente la suma de tres cuadrados. Por lo $t L^2 = 4^{k+r} m s^2, $ donde $m s^2 \equiv 7 \pmod 8.$ por lo Tanto $t L^2$ no es también la suma de tres enteros plazas y hemos terminado.
Es cierto que los números enteros positivos son la suma de tres enteros cuadrados si y sólo si son la suma de tres racional plazas. Este resultado, por un número de formas cuadráticas, se conoce generalmente como el Davenport-Cassels Teorema, pero se demostró por primera vez por Aubry acerca de 1912, creo. Aparece en Serre pequeño libro, Un Curso de Aritmética, con tres plazas en las páginas 45-46, y Davenport-Cassels en las páginas 46-47.
Hay infinidad de formas cuadráticas con la misma propiedad, que representan un número más de los enteros si y sólo si representan a más de las racionales. El más fuerte de los bienes utilizados en la Davenpost-Cassels hipótesis, por positivo cuadráticas formas, se produce por sólo 70 formas del tipo denominado "incluso celosías." La restricción es que el "revestimiento radio de" ser estrictamente por debajo de $\sqrt 2.$ Una lista completa está dada por G. Nebe ver http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/pl.html y el pdf aparece como Incluso celosías con el recubrimiento de radio totalmente menor que sqrt{2}. Beiträge zur Álgebra und Geometrie, Vol. 44, Nº 1, 2003, 229-234 Tenga en cuenta que se me olvidó el caso de R=A2A1A1 en el Teorema 7. Este sistema de raíces de los rendimientos de dos celosías, uno con el recubrimiento de radio =sqrt{2} y uno con c.r. estrictamente menor que sqrt{2}
Hay 103 formas positivas en las tres variables que tienen su propiedad, que representan un entero sobre los enteros si y sólo si representan a más de las racionales. Cada uno es resumida por seis coeficientes precedido por una "discriminante" yo llame a Delta. Cualquier primitiva, positiva ternario con la propiedad es "equivalente" a una de estas 103. ADC representa Aubry-Davenport-Cassels. Vamos a ver, sólo trece de los formularios a continuación pertenecen a Nebe de la lista. Sus hipótesis son mucho más restrictivo que el adc de la propiedad. Su lista de 70 entradas porque el número de variables se presenta tan grande como diez.
$$Q(x,y,z) = a x^2 + b y^2 + c z^2 + r y z + s z x + t x y,$$ y $$\Delta = 4 a b c + r s t - a r^2 - b s^2 - c t^2$$
Delta a b c r s t
---------------------------------------------------------
2: 1 1 1 1 1 1 ADC 2 = 2
3: 1 1 1 0 0 1 ADC 3 = 3
4: 1 1 1 0 0 0 ADC 4 = 2^2
5: 1 1 2 1 1 1 ADC 5 = 5
6: 1 1 2 0 0 1 ADC 6 = 2 * 3
6: 1 1 2 1 1 0 ADC 6 = 2 * 3
7: 1 1 2 0 1 0 ADC 7 = 7
8: 1 1 2 0 0 0 ADC 8 = 2^3
9: 1 1 3 0 0 1 ADC 9 = 3^2
10: 1 1 3 1 1 0 ADC 10 = 2 * 5
10: 1 2 2 2 1 1 ADC 10 = 2 * 5
11: 1 1 3 0 1 0 ADC 11 = 11
12: 1 1 3 0 0 0 ADC 12 = 2^2 * 3
12: 1 2 2 1 1 1 ADC 12 = 2^2 * 3
12: 1 2 2 2 0 0 ADC 12 = 2^2 * 3
13: 1 2 2 1 0 1 ADC 13 = 13
14: 1 1 5 1 1 1 ADC 14 = 2 * 7
15: 1 1 4 0 1 0 ADC 15 = 3 * 5
15: 1 2 2 1 0 0 ADC 15 = 3 * 5
16: 1 2 2 0 0 0 ADC 16 = 2^4
17: 1 2 3 2 1 1 ADC 17 = 17
18: 1 2 3 2 1 0 ADC 18 = 2 * 3^2
18: 2 2 2 1 2 2 ADC 18 = 2 * 3^2
20: 1 1 5 0 0 0 ADC 20 = 2^2 * 5
20: 1 2 3 1 0 1 ADC 20 = 2^2 * 5
20: 1 2 3 2 0 0 ADC 20 = 2^2 * 5
21: 1 2 3 0 0 1 ADC 21 = 3 * 7
21: 1 2 3 1 1 0 ADC 21 = 3 * 7
22: 1 2 3 0 1 0 ADC 22 = 2 * 11
24: 1 1 6 0 0 0 ADC 24 = 2^3 * 3
24: 1 2 3 0 0 0 ADC 24 = 2^3 * 3
24: 1 2 4 2 1 1 ADC 24 = 2^3 * 3
25: 2 2 2 -1 1 1 ADC 25 = 5^2
28: 2 2 3 2 2 2 ADC 28 = 2^2 * 7
30: 1 1 10 0 0 1 ADC 30 = 2 * 3 * 5
30: 1 3 3 1 1 1 ADC 30 = 2 * 3 * 5
32: 1 2 4 0 0 0 ADC 32 = 2^5
33: 1 2 5 1 1 1 ADC 33 = 3 * 11
36: 1 2 5 2 0 0 ADC 36 = 2^2 * 3^2
36: 1 3 3 0 0 0 ADC 36 = 2^2 * 3^2
36: 1 3 4 3 1 0 ADC 36 = 2^2 * 3^2
40: 1 2 5 0 0 0 ADC 40 = 2^3 * 5
42: 1 1 11 1 1 0 ADC 42 = 2 * 3 * 7
44: 1 2 6 2 0 0 ADC 44 = 2^2 * 11
45: 2 2 3 0 0 1 ADC 45 = 3^2 * 5
46: 1 3 5 3 1 1 ADC 46 = 2 * 23
48: 1 2 6 0 0 0 ADC 48 = 2^4 * 3
49: 1 2 7 0 0 1 ADC 49 = 7^2
50: 1 4 4 3 1 1 ADC 50 = 2 * 5^2
56: 1 3 5 2 0 0 ADC 56 = 2^3 * 7
60: 2 2 5 0 0 2 ADC 60 = 2^2 * 3 * 5
60: 2 3 3 0 0 2 ADC 60 = 2^2 * 3 * 5
63: 1 3 6 3 0 0 ADC 63 = 3^2 * 7
70: 1 2 9 0 1 0 ADC 70 = 2 * 5 * 7
72: 2 2 5 1 1 1 ADC 72 = 2^3 * 3^2
72: 2 3 3 0 0 0 ADC 72 = 2^3 * 3^2
75: 1 4 5 0 0 1 ADC 75 = 3 * 5^2
78: 1 5 5 4 1 1 ADC 78 = 2 * 3 * 13
84: 1 1 21 0 0 0 ADC 84 = 2^2 * 3 * 7
90: 1 1 30 0 0 1 ADC 90 = 2 * 3^2 * 5
92: 2 3 5 2 0 2 ADC 92 = 2^2 * 23
99: 2 3 5 3 1 0 ADC 99 = 3^2 * 11
100: 2 2 7 -1 1 1 ADC 100 = 2^2 * 5^2
100: 2 3 5 0 0 2 ADC 100 = 2^2 * 5^2
112: 2 3 5 2 0 0 ADC 112 = 2^4 * 7
120: 1 3 10 0 0 0 ADC 120 = 2^3 * 3 * 5
121: 1 3 11 0 0 1 ADC 121 = 11^2
126: 3 3 5 3 3 0 ADC 126 = 2 * 3^2 * 7
140: 1 2 18 2 0 0 ADC 140 = 2^2 * 5 * 7
147: 3 3 5 -2 2 1 ADC 147 = 3 * 7^2
150: 2 5 5 5 0 0 ADC 150 = 2 * 3 * 5^2
156: 2 3 7 0 2 0 ADC 156 = 2^2 * 3 * 13
169: 2 5 5 -3 1 1 ADC 169 = 13^2
180: 2 2 15 0 0 2 ADC 180 = 2^2 * 3^2 * 5
200: 1 5 10 0 0 0 ADC 200 = 2^3 * 5^2
234: 2 3 11 3 2 0 ADC 234 = 2 * 3^2 * 13
240: 2 5 6 0 0 0 ADC 240 = 2^4 * 3 * 5
252: 3 3 7 0 0 0 ADC 252 = 2^2 * 3^2 * 7
289: 3 5 6 1 2 3 ADC 289 = 17^2
294: 5 5 5 -3 3 4 ADC 294 = 2 * 3 * 7^2
300: 1 10 10 10 0 0 ADC 300 = 2^2 * 3 * 5^2
350: 3 3 10 0 0 1 ADC 350 = 2 * 5^2 * 7
360: 1 3 30 0 0 0 ADC 360 = 2^3 * 3^2 * 5
450: 5 5 6 0 0 5 ADC 450 = 2 * 3^2 * 5^2
468: 1 6 21 6 0 0 ADC 468 = 2^2 * 3^2 * 13
490: 3 3 14 0 0 1 ADC 490 = 2 * 5 * 7^2
588: 3 7 7 0 0 0 ADC 588 = 2^2 * 3 * 7^2
600: 2 5 15 0 0 0 ADC 600 = 2^3 * 3 * 5^2
700: 5 6 6 2 0 0 ADC 700 = 2^2 * 5^2 * 7
720: 2 6 15 0 0 0 ADC 720 = 2^4 * 3^2 * 5
882: 2 11 11 1 2 2 ADC 882 = 2 * 3^2 * 7^2
900: 3 10 10 10 0 0 ADC 900 = 2^2 * 3^2 * 5^2
980: 6 6 7 0 0 2 ADC 980 = 2^2 * 5 * 7^2
1014: 1 13 23 13 1 0 ADC 1014 = 2 * 3 * 13^2
1200: 1 10 30 0 0 0 ADC 1200 = 2^4 * 3 * 5^2
1764: 1 21 21 0 0 0 ADC 1764 = 2^2 * 3^2 * 7^2
1800: 5 6 15 0 0 0 ADC 1800 = 2^3 * 3^2 * 5^2
2028: 2 7 39 0 0 2 ADC 2028 = 2^2 * 3 * 13^2
2450: 1 9 70 0 0 1 ADC 2450 = 2 * 5^2 * 7^2
3042: 3 17 17 8 3 3 ADC 3042 = 2 * 3^2 * 13^2
3600: 3 10 30 0 0 0 ADC 3600 = 2^4 * 3^2 * 5^2
4900: 2 18 35 0 0 2 ADC 4900 = 2^2 * 5^2 * 7^2
6084: 6 13 21 0 6 0 ADC 6084 = 2^2 * 3^2 * 13^2
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
