Inspirado por su (demasiado simple!) ejemplo en la pregunta.
Permítanos calcular $\int_0^1 x^2\,dx$. Empezamos con el obvio cambio de variables:
$$
t = \frac{x}{1-x} \quad\Leftrightarrow\quad x = \frac{t}{1+t}
$$
de la que podemos obtener
$$
dx =\frac{dt}{(1+t)^2}.
$$
y la integral se transforma en
$$
\int_0^1 x^2\,dx = \int_0^\infty \frac{t^2}{(1+t)^4}\,dt
$$
que pueden ser atacados por el uso de residuos de cálculo. Definir
$$
f(z) = \frac{z^2\log z}{(1+z)^4}
$$
donde $\log$ es elegido como el natural de la rama del logaritmo complejo e integrar a través de una cerradura de contorno:
![enter image description here]()
Estándar de las estimaciones sobre las diversas partes del contorno muestra que, en $C_R$:
$$
\left| \frac{z^2\log z}{(1+z)^4} \right| \le \frac{R^2(\ln R + 2\pi}{R^4-1}
$$
así
$$
\left| \int_{C_R} f(z)\,dz \right| \le 2\pi R \cdot \frac{R^2(\ln R + 2\pi}{R^4-1}
$$
que tiende a $0$$R \to \infty$. Del mismo modo, en $C_\varepsilon$:
$$
\left| \frac{z^2\log z}{(1+z)^4} \right| \le \frac{\varepsilon^2(\ln \varepsilon + 2\pi)}{(1/2)^4}
$$
(si $\varepsilon < 1/2$) por lo
$$
\left| \int_{C_R} f(z)\,dz \right| \le 2\pi R \cdot 16 \varepsilon^2(\ln \varepsilon + 2\pi),
$$
que tiende a $0$$\varepsilon \to 0^+$. Queda por investigar lo que sucede en $I^+$$I^-$. En $I^+$ tenemos
$$
\int_{I^+} f(z)\,dz = \int_{\varepsilon}^R \frac{x^2\ln x}{(1+x)^4}\,dx
$$
y en $I^-$:
$$
\int_{I^+} f(z)\,dz = \int_R^{\varepsilon} \frac{x^2(\ln x+2\pi i}{(1+x)^4}\,dx.
$$
Poner todo junto, utilizando el teorema de los residuos y dejar $R\to\infty$, $\varepsilon\to0^+$ (tenga en cuenta que las integrales que contengan $\ln x$ cancelar), llegamos a la
$$
-2\pi i \int_0^\infty \frac{x^2}{(1+x)^4}\,dx = 2\pi i\operatorname{Res}\limits_{z=-1} \frac{z^2\log z}{(1+z)^4}.
$$
Finalmente,
$$
\operatorname{Res}\limits_{z=-1} \frac{z^2\log z}{(1+z)^4} =
\frac1{3!} (z^2\log z)^{"'}\big|_{z=-1} = -\frac13
$$
(omitiendo tedioso álgebra), y llegamos a la increíble resultado
$$
\int_0^1 x^2\,dx = \int_0^\infty \frac{t^2}{(1+t)^4}\,dt = -\operatorname{Res}\limits_{z=-1} \frac{z^2\log z}{(1+z)^4} = \frac13.
$$
