La notación de #% misterioso %#%.

Question

Me he encontrado con la $\dot{H}^{-1}$ notación en uno de los SIAM Journal en el Análisis Matemático de los artículos. Parece ser estándar (o al menos no infrecuente) para el uso de este en el campo, ya que no hay ninguna presentación formal o definición de $\dot{H}^{-1}$ en el propio artículo, y debido al hecho de que primero aparece en el resumen. Los autores parecen estar confiados de que el uso de expresiones como

• $\dot{H}^{-1}$ norma,
• $\dot{H}^{-1} $ distancia,
• $\dot{H}^{-1} $ gradiente de flujo de energía,

y a los demás.

He intentado mi mejor buscar en línea y la comprobación de las referencias a los artículos, pero no podía entenderlo. Puede alguien darme una pista sobre dónde encontrar una definición de cualquiera de $\dot{H}^{-1}$ los objetos mencionados anteriormente?

El artículo está dedicado al análisis de la estabilidad de un determinado tipo de soluciones de una no lineal de la PDE.

Answer 1

$\dot H^{-1}$ es de espacio de Sobolev de homogénea dual http://sma.epfl.ch/~wwywong/papers/sobolevnotes.pdf

Answer 2

Aquí está la respuesta proporcionada por el autor del artículo original, donde vi esta notación primero:

$\dot{H^{-1}}$ es la homogeneidad de las $H^{-1}$ norma. Es el espacio dual de $\dot{H^{1}}$, la homogeneidad de las $H^1$ norma. El homog $H^1$ norma de $g$$\int |\nabla g|^2 dx$. es decir, no de orden cero término. (Así que no es realmente un norma, pero una seminorm. Las constantes son permitidos.)

También se puede pensar en la $H^k$ espacios a través de la transformada de Fourier. La homogeneidad de las negativo normas de términos como"$\int (f_k/ k)^2 dk$.

En $\mathbb{R}$ (como en nuestro documento a que se refiere), se puede ver por integración por partes-que la norma de $f$ $\dot{H^{-1}}$ vez el $L^2$ norma de una antiderivada de $f$. Al mismo tiempo, ver que si $f$ tiene una antiderivada $F$$L^2$, sólo ha UNO de ESOS antiderivada (puesto que las constantes no están en $L^2(\mathbb{R})$).

Espero que ayude un poco. No sé de una buena fuente que describe de estas cosas. Creo que Evans solo se analiza el doble de $H_0^1(\Omega)$ para agradable, delimitada $\Omega$ (si no recuerdo mal). He visto algunas de conferencias notas en línea, pero nada que realmente me recomiendo.

Espero que sea útil para alguien.