Spec de producto tensorial de campos

Question

Supongamos que $K/k$ es una extensión separable finita de grado $n$ . Cómo demostrar que existe una extensión separable finita $k'/k$ tal que $\operatorname{Spec}(K \otimes_k k')$ consiste en $n$ ¿puntos?

(Está en Gortz y Wedhorn, Geometría algebraica I (Ejercicio 4.16)

Answer 1

Probablemente esté equivocado (no estoy familiarizado con la teoría de campos) pero creo que las siguientes observaciones podrían ser útiles:

1. Una extensión separable finita de $k$ tiene un elemento primitivo. Llama a $p(x)$ su polinomio mínimo: tiene grado $n$ y es separable.
2. $K=\frac{k[x]}{(p(x))}$
3. Considere $k'$ como el campo de división de $p(x)$ es una extensión separable de $k$ porque $p(x)$ es separable y, si $p(x)= (x-\alpha_1)\cdots (x-\alpha_n)$ tenemos las siguientes igualdades: $$K \otimes_k k'=\frac{k[x]}{(p(x))}\otimes_k k'= \frac{k'[x]}{(p(x))}= \frac{k'[x]}{(x-\alpha_1)}\times \dots \times \frac{k'[x]}{(x-\alpha_n)}=(k')^n$$

Answer 2

Desde $K/k$ es separable, para cualquier extensión $k^\prime$ de $k$ , $K\otimes_kk^\prime$ es un producto de extensiones separables finitas de $k^\prime$ . Esto se ve al escribir $K=k[t]/(f(t))$ para algún irreducible mónico separable $f(t)\in k[t]$ (de grado $n$ ), en cuyo caso

$K\otimes_kk^\prime=k[t]/(f(t))\otimes_kk^\prime\cong k^\prime[t]/(f(t)) =\prod_{i=1}^r k^\prime[t]/(p_i(t))$

donde el $p_i(t)$ son los factores irreducibles de $f(t)$ en $k^\prime[t]$ (en lenguaje algebro-geométrico se dice que $\mathrm{Spec}(K)$ se reduce geométricamente sobre $k$ ). En particular, si $k^\prime$ se considera una extensión separable de $k$ sobre el cual $f(t)$ divide, digamos que un campo de división de $f(t)$ en $k$ , entonces todos los $p_i$ tienen grado uno, por lo que el isomorfismo se convierte en $K\otimes_kk^\prime\cong \prod_{i=1}^n k^\prime$ , donde $n=\deg(f)$ . Entonces $\mathrm{Spec}(K\otimes_kk^\prime)=\coprod_{i=1}^n\mathrm{Spec}(k^\prime)$ es una unión disjunta de $n$ puntos.