¿El conjunto {a, b} está definido de manera única?

Question

Primera respuesta a esta pregunta sería sí, pero tenga en cuenta la siguiente pregunta: ¿cuántos elementos tiene el conjunto a $\{a,\, b\}$? La respuesta a esta pregunta depende de la $a$$b$:

• Si $a=b$, $\{a,\, b\}$ es un singleton.
• Si $a\neq b$, $\{a,\, b\}$ tiene dos elementos.

Así es $\{a,\, b\}$ definida de forma única a pesar de su cardinalidad no es única? Tengo dos posibles respuestas a la solución de este problema:

Solución 1: Debido a que el axioma de extensionality un conjunto es definido de forma exclusiva, iff uno puede decir que para cada objeto si es elemento del conjunto o no. Por lo $\{a,\, b\}$ está definida de forma única, porque uno puede decir que un objeto $x$ es elemento de a $\{a,\, b\}$, iff $x=a$ o $x=b$. La singularidad de una serie no implica la singularidad de su cardinalidad.

Solución 2: Si $a$ $b$ están en el contexto definido por los objetos (que no dependen de variables libres), a continuación, $\{a,\, b\}$ así como su cardinalidad es definida de forma única. Si $a$ $b$ son variables libres o dependen de variables libres, luego pedir la cardinalidad de a $\{a,\, b\}$ es lo mismo que preguntar por la verdad de una declaración de la forma $A(x)$ con una variable libre $x$: no tiene sentido. Sólo después de la sustitución de todas las variables libres con la única objetos definidos, puede pedir que la cardinalidad de a $\{a,\, b\}$.

Que de mi solutions es adecuado o es que hay una solución mejor? ¿Cuál es la respuesta correcta a alguien que dice que el conjunto $\{a,b\}$ no es única?

Answer 1

Es cierto que la singularidad del conjunto, es decir, su bien definability, no implica que su cardinalidad es único.

La frase de que en una más clara y precisa, lo que demuestra que un conjunto está bien definido, no significa que podemos probar que su cardinalidad es nada en particular.

Considerar el conjunto definido de la siguiente manera $\{x\in\Bbb N\mid (x=x\land\mathrm{RH})\lor(x\neq x\land\lnot\mathrm{RH})\}$. Si $\mathrm{RH}$ es cierto, entonces este juego es $\Bbb N$, si es falso, entonces el conjunto es vacío.

Podemos probar que este conjunto está bien definido, porque se puede escribir esta expresado en el lenguaje de la teoría de conjuntos (aunque en una forma complicada), y el axioma esquema de separación nos dice que este es un conjunto bien definido. Se puede demostrar si es vacío o no? Tal vez, si usted puede demostrar la Hipótesis de Riemann. (Bueno, por lo $\rm RH$ podría terminar comprobable, si quieres un verdadero desafío, a reemplazar en la definición por algo que seguramente no demostrable como el Continuum de la Hipótesis, o algo así.)

La primera respuesta es correcta. Extensionality demuestra que este grupo es un par, o es un singleton, pero está bien definido, no obstante.

Answer 2

En una manera, respondió a su propia pregunta cuando dijo que la respuesta depende de si $a$ $b$ son fijos, cantidades conocidas, o si son parámetros que se pueden marcar de acuerdo a su capricho. Yo diría que discutir la cardinalidad de $$X_{a,b} := \{a,b\}$$ se parece mucho a la discusión de la cardinalidad de $$Y_r := \{ x \in \mathbb{Z} : 1 \leq x < r\}.$$ El conjunto, y la cardinalidad, depende de los valores de los parámetros. \begin{align*} X_{1,2} = \{1,2\} && X_{1,\varnothing} = \{1,\varnothing\} && X_{4,4} = \{4,4\} = \{4\} \end{align*} \begin{align*} Y_5 = \{1,2,3,4\} && Y_{3.8} = \{1,2,3\} && Y_{-2} = \varnothing \end{align*} Incluso se podría hacer un caso que \begin{align*} Y_{+\infty} = \{1,2,3,4,\ldots\} && Y_{\varnothing} = \varnothing \end{align*} dado que la comparación de un número entero con un $+\infty$ a veces es permitido, pero nunca tiene sentido comparar y entero a $\varnothing$. Tal vez mostrando a alguien este segundo ejemplo donde parece más evidente que el conjunto puede tener múltiples cardinalidades podría aclarar algo sobre el primer ejemplo.