Una duda básica sobre mapas lineales

Question

Deje $f$ ser lineal en el mapa de $V$ a su campo de juego, decir $F$. Ahora si $f(v)=0$ no necesariamente implica que $v=0$. Yo no lo creo. $v=0$ es una solución, pero no tiene por que ser la única solución, porque la $f$ no necesita ser uno-a-uno. Es esto correcto ?

En realidad, esto es utilizado en algunas parte de una prueba en un libro que está creando confusión. Deje $V'$ ser el conjunto de todos los lineales de los mapas de $V$ $F$ $V''$ser el conjunto de todos los lineales de los mapas de$V'$$F$.

Ahora, vamos a $g$ ser un mapa de$V$$V''$. Tomar cualquier elemento $v \in V$. A continuación, $g(v) \in V''$ es un mapa de$V'$$F$. Ahora vamos a definir este mapa como $g(v)(f)=f(v)$. Ahora a probar que $g$ es de uno a uno tenemos que demostrar que el $g(v)=0$ implica $v=0$. Ahora $g(v)=0$ implica $g(v)(f)=0 \forall f \in V'$, lo que implica $f(v)=0$, entonces se concluye que $v=0$. Esto es confuso para mí.

Answer 1

Usted está en lo correcto. Por ejemplo, $f(1,1)=0$ cuando $f(x,y)=x-y$, $f:\Bbb R^2\to\Bbb R$. De hecho, si $f$ es una transformación lineal $f:V\to F$, $f$ es uno a uno si y sólo si $f(v)=0\implies v=0$. Se puede demostrar esto? Sugerencia: $f(x)-f(y)=f(x-y)$.

El espacio de transformaciones lineales (también lineal formas) $f:V\to F$ es llamado el espacio dual de $V$, y se denota por a $V^\ast$. Estas funciones son alimentados con un vector de $V$, y el retorno a un escalar en $F$. Este espacio dual de hecho es un espacio vectorial en su propio derecho, por lo tanto, podemos hablar de su doble, $(V^\ast)^\ast=V^{\ast\ast}$, el espacio de lineal funcionales $g:V^*\to F$. Estos son alimentados con una función de un vector de $V^*$, y el retorno a un escalar en $F$. Lo que está demostrado es casi que $V$ $V^{\ast\ast}$ son isomorfos: la prueba muestra el mapa es uno-uno. Pero desde $V$ y, a continuación, $V^\ast,V^{\ast\ast}$ son finito dimensional, este termina -- este es un estándar de uso de la clasificación de nulidad teorema$^{1}$. El mapa que se propone es $$\phi: V\to V^{\ast\ast}$$ se define de la siguiente manera: dado $v\in V$, $\phi(v)$ es un mapa de $\phi(v):V^\ast \to F$ que envía el funcional $\varphi$$\varphi(v)$. Este es usualmente escrita como $$\phi(v)(\varphi)=\varphi(v)$$

De hecho esta es una transformación lineal. Ahora, supongamos que el $\phi(v)=0$. Esto es decir $\phi(v)$ es la nula transformación, esto es, para cualquier $f$ recogemos en $V^\ast$; $\phi(v)(f)=f(v)=0$. Esto significa que $v$ está en el núcleo de todos los funcionales lineales $f:V^\ast\to F$, lo que obliga $v=0$. Para mostrar que $$\bigcap_{\varphi\in V^\ast}\ker \varphi=\{0\}$$ show that for any nonzero $v$, there is a functional that is nonzero at $v$, i.e. there is some $\varphi\V^\ast$ such that $\varphi(v)\neq 0$. (Hint: Without loss of generality, you can assume the first coordinate of $v$ es distinto de cero, y luego mirar la proyección de la asignación a la primera coordenada).

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$1.$ En general, es falso que $V\simeq V^{\ast\ast}$ para espacios de infinitas dimensiones.

Answer 2

Eso es correcto! Usted puede ir más allá y demostrar que si la dimensión de $V$ es mayor que $1$, entonces para cualquier lineal mapa de $f:V\to F$, existe alguna $v\neq0$ tal que $f(v)=0$. Sugerencia: Comience con cualquiera de los dos vectores linealmente independientes y ver lo que sucede cuando usted aplica $f$...

Edit: Para abordar la ampliación de la pregunta, uno de los pasos de la prueba muestra que para todos los $f$ ,$f(v)=0$. Bajo estas circunstancias, $v$ debe ser la $0$. ¿Ves la diferencia?

Answer 3

Sí, tiene usted razón. Por ejemplo, $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$. Defina el mapa en$f((v_1,v_2))=v_1$. Entonces cualquier vector$(0,v_2)$ le dará cero. Espero que esto ayude.