Ayuda con el papel de Kervaire

Question

Yo estaba tratando de leer Kervaire de 1960 papel donde por primera vez se muestra la existencia de un colector que no admite la estructura diferenciable y me quedé atrapado. En la segunda página del documento donde se empieza a definir su invariante escribe: donde: $u_2 \in H^{10}(\Omega;\mathbf Z_2)$ es la reducción del modulo $2$ $e_2 \in H^{10}(\Omega)$

Entiendo que la construcción no se puede hacer con coeficientes distintos de $\mathbf Z_2$. Pero no entiendo por qué este es el caso. En la misma página más abajo se usa de nuevo la reducción del modulo $2$. ¿Por qué está obligado a considerar homología $\mathbf Z_2$? No está claro para mí por qué el entero de los coeficientes no iba a funcionar y por qué la construcción es sólo bien definidos en $\mathbf Z_2$. Estaría muy agradecido si usted me podría ayudar a entender su papel explicando por qué uno necesita $\mathbf Z_2$.

Es claro para mí que la homología de más de $\mathbf Z_2$ es ajeno a la orientación del colector. Sin embargo, no explica por qué en este caso particular otros coeficientes de la totalidad de las construcciones no está bien definido.

Answer 1

Si usted lee la prueba del Lema 1.2 donde demuestra su invariable está bien definido, usted puede conseguir una idea de por qué $\Bbb Z/2$ coeficientes son útiles. El uso de obstrucción de la teoría, Kervaire muestra que si $f$ $g$ son dos mapas que $f^\ast(e_1) = g^\ast(e_1)$, luego $$(f^\ast(u_2) - g^\ast(u_2))[s_{10}] = u_2[h\omega_{10}(f,g)[s_{10}]]$$ para cualquier $10$-simplex $s_{10}$ donde $\omega_{10}(f,g) \in C^{10}(K; \pi_{10}(\Omega S^6))$ es la obstrucción de la cocycle, $K$ es una triangulación de $X$, e $h: \pi_{10}(\Omega S^6) \longrightarrow H_{10}(\Omega S^6)$ es el Hurewicz homomorphism.

Un resultado de Serre implica que $u_2 [h \alpha]$ es el mod $2$ invariante de Hopf de los elementos de $\pi_{11}(S^6)$ representado por $\alpha \in \pi_{10}(\Omega S^6)$ (recordar que tenemos un isomorfismo $\pi_{k+1}(X) \cong \pi_k(\Omega X)$). Ya que no hay elementos en $\pi_{11}(S^6)$ con impar invariante de Hopf, se deduce que Kervaire invariable está bien definido.

Si por el contrario utilizamos $\Bbb Z$-coeficientes, tendríamos $$(f^\ast(e_2) - g^\ast(e_2))[s_{10}] = e_2[h\omega_{10}(f,g)[s_{10}]],$$ y de nuevo por Serre tenemos que $e_2[h\alpha]$ es la no-reducción (entero) invariante de Hopf de la clase en $\pi_{11}(S^6)$ correspondiente a $\alpha \in \pi_{10}(\Omega S^6)$. Pero en este caso, para cualquier entero $m$, se puede construir un elemento de $\pi_{11}(S^6)$ con el invariante de Hopf $m$. Por lo tanto no podemos concluir que el $\Bbb Z$valores de Kervaire invariante está bien definido. La reducción de mod $2$ consigue librarse de este problema.