Intuición detrás de la fórmula de Euler

Question

Posible duplicado:
Cómo demostrar la fórmula de Euler: $\\exp(i t)=\\cos(t)+i\\sin(t)$ ?

Hola, hace tiempo que tengo curiosidad por saber si realmente es posible tener una comprensión intuitiva de la fórmula aparentemente mágica de Euler: $$e^{ \pm i\theta } = \cos \theta \pm i\sin \theta$$

Obviamente, he visto las pruebas basadas en las series de Taylor/ecuaciones diferenciales, y quizás tenga que aceptar que no es posible tener una intuición sobre lo que significa elevar un número a una potencia imaginaria. Obviamente, me doy cuenta de que la fórmula implica que una exponencial con una parte imaginaria variable puede visualizarse como una función compleja que gira en un círculo unitario alrededor del origen del plano complejo. Pero, ¿por qué es así? ¿Y por qué e es tan especial que se mueve a una velocidad lo suficientemente rápida como para que el argumento de la exponencial sea igual a la longitud de arco del recorrido realizado por el locus (es decir, el ángulo en radianes que hemos movido alrededor del círculo)? ¿Hay alguna manera de que alguien por ahí 'entienda' esto?

Gracias.

Answer 1

Si recuerdo de la lectura Análisis del infinito (libro muy bonito, al menos Volumen $1$ es), Euler lo obtuvo al observar $$\left(1+\frac{i}{\infty}\right)^{\infty}$$ cuya expansión es fácil de encontrar utilizando el Teorema del Binomio con exponente $\infty$ .

Hay una supuesta y bonita cita de Euler, que puede parafrasearse como "A veces mi lápiz es más inteligente que yo". Aceptó libremente los resultados de sus cálculos. Pero, por supuesto, era Euler.

Answer 2

Hay un libro que trata esta cuestión: De dónde vienen las matemáticas por George Lakoff y Rafael E. Núñez.