Un círculo rueda a lo largo de una parábola

Question

Estoy pensando en un círculo rodando a lo largo de una parábola. ¿Sería una representación paramétrica?

$(t + A\sin (Bt) , Ct^2 + A\cos (Bt) )$

A nos da el radio del círculo, B cambia la frecuencia de las rotaciones, C, por supuesto, varía la parábola. Ahora bien, si quiero que el círculo "coincida" con la parábola como si ambos estuvieran hechos de cuerda no elástica, ¿qué debo elegir para B?

Mi primera suposición es 1. Pero, la longitud de arco de una parábola de 0 a 1 es mucho menor que la longitud de 1 a 2. Y, mientras examino las gráficas, parece que podría necesitar variar B para obtener la gráfica que quiero. Echa un vistazo:

Esto me hace pensar que la gráfica que produce mi ecuación siempre será errónea independientemente de las constantes que elija. Debería parecerse a una cicloide:

Pero doblado para encajar en una parábola. [Empecé esto porque quería saber si tal curva podría ser auto-intersecante. (Creo que sí.) Cuando era niño, mi madre me pidió que dibujara qué pasaría si un círculo rodara por la bandeja de la pizarra con un punto en el borde trazando una línea... ¡como la mayoría de los jóvenes, dibujé bucles que se autointersecaban y mi joven mente se asombró al ver que no se intersectaban!].

Así que, aparte de comprobar si esto va siquiera en la dirección correcta, me gustaría saber si hay un punto en el que la curva mostrada (o cualquier curva de la familia que he descrito) se parezca más a una cicloide

Gracias.

"Sería realmente muy difícil de saber" es una respuesta totalmente aceptable, aunque es mi respuesta actual, y me pregunto si la gente de aquí puede mejorarla un poco.

Answer 1

(Hace tiempo que quería escribir en el blog sobre las ruletas, pero como ha surgido esta pregunta, escribiré sobre este tema aquí).

Utilizaré la representación paramétrica

$$\begin{pmatrix}2at\\at^2\end{pmatrix}$$

para una parábola que se abre hacia arriba, donde $a$ es la longitud focal, es decir, la longitud del segmento que une el vértice de la parábola y el foco. La función arclength correspondiente a esta parametrización es $s(t)=a(t\sqrt{1+t^2}+\mathrm{arsinh}(t))$ .

user8268 dio una derivación para el caso "cicloidal", y Willie utilizó maquinaria de velocidad unitaria, así que me encargaré de la generalización al "caso trocoidal", donde el punto de trazado no está necesariamente en la circunferencia del círculo rodante.

El comentario de Willie muestra cómo se debe considerar la noción de "rodar" al derivar las ecuaciones paramétricas: una rotación (sobre el centro de la rueda) seguida de una rotación/traslación. La primera clave es considerar que la cantidad de rotación necesaria para que tu "rueda" ruede debe ser equivalente a la arclitud a lo largo de la "curva base" (en tu caso, la parábola).

Empezaré con una parametrización de un círculo de radio $r$ tangente al eje horizontal en el origen:

$$\begin{pmatrix}-r\sin\;u\\r-r\cos\;u\end{pmatrix}$$

Esta parametrización del círculo se diseñó de forma que un valor positivo del parámetro $u$ corresponde a una rotación de la rueda en el sentido de las agujas del reloj, y el origen corresponde al valor del parámetro $u=0$ .

La función arclength para este círculo es $ru$ ; para rodar este círculo, obtenemos la equivalencia

$$ru=s(t)-s(c)$$

donde $c$ es el valor del parámetro correspondiente al punto de la curva base en el que comienza la laminación. Resolviendo para $u$ y sustituyendo la expresión resultante en las ecuaciones del círculo se obtiene

$$\begin{pmatrix}-r\sin\left(\frac{s(t)-s(c)}{r}\right)\\r-r\cos\left(\frac{s(t)-s(c)}{r}\right)\end{pmatrix}$$

Hasta ahora, esto es para el caso "cicloidal", en el que el punto de trazado está en la circunferencia. Para obtener el caso "trocoidal", lo que hay que hacer es sustituir el $r$ multiplicando las funciones trigonométricas por la cantidad $hr$ la distancia del punto de trazado al centro del círculo rodante:

$$\begin{pmatrix}-hr\sin\left(\frac{s(t)-s(c)}{r}\right)\\r-hr\cos\left(\frac{s(t)-s(c)}{r}\right)\end{pmatrix}$$

En este punto, observo que $r$ puede ser una cantidad positiva o negativa. Para su "trocoide parabólico", negativo $r$ corresponde al círculo que rueda fuera de la parábola y positivo $r$ corresponde a rodar por el interior de la parábola. $h=1$ es el caso "cicloidal"; $h > 1$ es el caso "prolato" (punto de trazado fuera del círculo rodante), y $0 < h < 1$ es el caso "curtate" (punto de trazado dentro del círculo rodante).

Eso sólo se ocupa de la rotación correspondiente a "rodar"; para colocar el círculo en la posición adecuada, hay que realizar otra rotación y una traslación. La rotación adicional necesaria es una rotación por el ángulo tangencial $\phi$ donde para una curva representada paramétricamente $(f(t)\quad g(t))^T$ , $\tan\;\phi=\frac{g^\prime(t)}{f^\prime(t)}$ . (En palabras: $\phi$ es el ángulo que forma la tangente de la curva en un determinado $t$ hace con el eje horizontal).

A continuación, sustituimos la expresión por $\phi$ en el en sentido contrario a las agujas del reloj matriz de rotación

$$\begin{pmatrix}\cos\;\phi&-\sin\;\phi\\\sin\;\phi&\cos\;\phi\end{pmatrix}$$

que da como resultado

$$\begin{pmatrix}\frac{f^\prime(t)}{\sqrt{f^\prime(t)^2+g^\prime(t)^2}}&-\frac{g^\prime(t)}{\sqrt{f^\prime(t)^2+g^\prime(t)^2}}\\\frac{g^\prime(t)}{\sqrt{f^\prime(t)^2+g^\prime(t)^2}}&\frac{f^\prime(t)}{\sqrt{f^\prime(t)^2+g^\prime(t)^2}}\end{pmatrix}$$

Para la parábola tal y como la había parametrizado, la matriz de rotación del ángulo tangencial es

$$\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt{1+t^2}}&-\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\\\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}&\frac1{\sqrt{1+t^2}}\end{pmatrix}$$

Esta matriz de rotación puede multiplicarse por el "círculo transformado" y, a continuación, trasladarse mediante el vector $(f(t)\quad g(t))^T$ resultando finalmente la expresión

$$\begin{pmatrix}f(t)\\g(t)\end{pmatrix}+\frac1{\sqrt{f^\prime(t)^2+g^\prime(t)^2}}\begin{pmatrix}f^\prime(t)&-g^\prime(t)\\g^\prime(t)&f^\prime(t)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-hr\sin\left(\frac{s(t)-s(c)}{r}\right)\\r-hr\cos\left(\frac{s(t)-s(c)}{r}\right)\end{pmatrix}$$

para una curva trocoidal. (Lo que hacen esas dos últimas transformaciones, en palabras, es girar y desplazar el círculo de rodadura adecuadamente de modo que el círculo de rodadura toque un punto apropiado de la curva base).

A partir de esta fórmula, se obtienen las ecuaciones paramétricas del "trocoide parabólico" (con punto de partida en el vértice, $c=0$ ) son

$$\begin{align*}x&=2at+\frac{r}{\sqrt{1+t^2}}\left(ht\cos\left(\frac{a}{r}\left(t\sqrt{1+t^2}+\mathrm{arsinh}(t)\right)\right)-t-h\sin\left(\frac{a}{r}\left(t\sqrt{1+t^2}+\mathrm{arsinh}(t)\right)\right)\right)\\y&=at^2-\frac{r}{\sqrt{1+t^2}}\left(h\cos\left(\frac{a}{r}\left(t\sqrt{1+t^2}+\mathrm{arsinh}(t)\right)\right)+ht\sin\left(\frac{a}{r}\left(t\sqrt{1+t^2}+\mathrm{arsinh}(t)\right)\right)-1\right)\end{align*}$$

Otra generalización a una curva espacial se puede hacer si el círculo rodante no es coplanario a la parábola; dejaré la derivación al lector interesado (pista: girar la ecuación del círculo rodante "transformada" alrededor del eje x antes de aplicar las otras transformaciones).

Ahora, algunas tramas:

Para esta foto, utilicé una distancia focal $a=1$ y un radio $r=\frac34$ (negativo para las "exteriores" y positivo para las "interiores"). Los casos crestado, cicloidal y prolato corresponden a $h=\frac12,1,\frac32$ .

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(añadido el 5/2/2011)

Prometí incluir animaciones y código, así que aquí hay un montón de GIFs que había hecho previamente en Mathematica 5.2:

Cicloide parabólico interior, $a=1,\;r=\frac34\;h=1$

Trocoide parabólico interno curtado, $a=1,\;r=\frac34\;h=\frac12$

Trocoide parabólico interno prolato, $a=1,\;r=\frac34\;h=\frac32$

Cicloide parabólico exterior, $a=1,\;r=-\frac34\;h=1$

Trocoide parabólico externo curtado, $a=1,\;r=-\frac34\;h=\frac12$

Trocoide parabólico exterior prolato, $a=1,\;r=-\frac34\;h=\frac32$

Le site Mathematica El código (no optimizado, lo siento) es un poco largo para reproducirlo; los que quieran experimentar con trocoides parabólicos pueden pedirme un cuaderno.

Como extra final, he aquí una animación de un tridimensional generalización del trocoide parabólico prolato:

Answer 2

Si he entendido bien la pregunta:

Su parábola es $p(t)=(t,Ct^2)$ . Su velocidad es $(1,2Ct)$ después de la normalización es $v(t)=(1,2Ct)//\sqrt{1+(2Ct)^2)}$ por lo que el vector normal unitario es $n(t)=(-2Ct,1)/\sqrt{1+(2Ct)^2)}$ . El centro del círculo está en $p(t)+An(t)$ . La longitud del arco de la parábola es $\int\sqrt{1+(2Ct)^2}dt= (2 C t \sqrt{4 C^2 t^2+1}+\sinh^{-1}(2 C t))/(4 C)=:a(t)$ . La posición de un punto marcado en el círculo es $p(t)+An(t)+A\cos(a(t)-a(t_0))\,n(t)+A\sin(a(t)-a(t_0))\,v(t)$ -esa es la curva (bastante complicada) que buscas.

editar: corregido un error encontrado por Willie Wong

Answer 3

Usuario8268 ya te dio el caso de la parábola. He aquí la fórmula para el caso general: sea $\gamma(s)$ ser un $C^2$ curva en $\mathbb{R}^2$ parametrizado por la longitud del arco $s$ (así $\frac{d}{ds}\gamma$ tiene norma 1). Sea $\epsilon:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ sea la transformación lineal que representa en el sentido contrario a las agujas del reloj rotación por $\pi/2$ radianes. La curva cicloide que se forma al rodar un círculo de radio $R$ en el "lado izquierdo" de esta curva viene dada por

$$ s \to \gamma(s) - R\sin \frac{s}{R} \dot{\gamma}(s) + R\left(1-\cos \frac{s}{R}\right)\epsilon\dot{\gamma}(s) $$

donde $\dot{\gamma} = \frac{d}{ds}\gamma$ siempre que la curvatura con signo de $\gamma$ es como máximo $R^{-1}$ . (Si el radio de curvatura es inferior a $R$ es imposible hacer rodar un círculo de radio $R$ sin resbalar ni saltar a lo largo de la curva). La curvatura con signo se define como

$$ \kappa = \ddot{\gamma} \cdot \epsilon \dot{\gamma} $$

donde el $\cdot$ es el producto punto habitual en $\mathbb{R}^2$ . Obsérvese que la curvatura positiva corresponde a la curva que se dobla hacia el lado en el que está el círculo, y la curvatura negativa es la que se dobla hacia afuera. Por tanto, la curvatura negativa no supone un obstáculo para la rodadura, mientras que las curvaturas positivas grandes pueden representar algo así como un bache).

Si desea que el círculo esté en el "lado derecho" de la curva, sustituya $\epsilon$ por el en el sentido de las agujas del reloj matriz de rotación.

En general, sin embargo, no es necesariamente posible resolver la parametrización de la arclitud. En cambio, calcular la arclitud cuando se conoce la parametrización es más fácil. Así, si escribimos $\tau(s)$ sea una curva parametrizada arbitrariamente y $|\tau(s)|$ es la longitud de arco entre $s$ y $0$ a lo largo de $\tau$ la ecuación puede reescribirse como

$$ s \to \tau(s) - R \sin \frac{|\tau(s)|}{R} \frac{\dot{\tau}(s)}{|\dot{\tau}(s)|} + R\left(1-\cos \frac{|\tau(s)|}{R}\right) \frac{\epsilon \dot{\tau}(s)}{|\dot{\tau}(s)|} $$

Por lo tanto, para la parábola, puede conectar el fórmula conocida de la longitud de arco y tratar de graficarlo.

Answer 4

Parece que le interesa roulettes . Sin embargo, la página de wikipedia no menciona el círculo-rodando-en-una-parábola.

Hay un Proyecto de demostración Wolfram visualizar su problema.