¿Cuándo es $(a^b)^c $ = $a^{bc}$ ¿Es cierto?

Question

Sé que en algunos casos esta regla no es cierta. Por ejemplo

$$((-1)^2)^\frac{1}{2}\ne(-1)^{(2\cdot\frac{1}{2})}$$

Entonces, ¿cuándo se cumple esta norma?

Answer 1

Es cierto cuando $a>0$ y $b, c \in \mathbb R$ . En esta situación tenemos una elección canónica para un valor de $a^b$ dado por $e^{b \ln a}$ utilizando la rama principal del logaritmo natural sobre números reales positivos (es decir, la que da $\ln a \in \mathbb R$ ).

Para otros valores de $a$ no hay una opción natural para $\ln a$ Así que $a^b$ tiene múltiples respuestas igualmente válidas. Lo que sí es cierto es que cada valor de $a^{bc}$ es igual a un valor para $(a^b)^c$ pero no a la inversa. Por ejemplo, en el ejemplo que has dado, $a=-1, b = 2, c = \frac{1}{2}$ los valores de $a^{bc}$ son

$$(-1)^1 = e^{\ln(-1)} = e^{\pi i + 2\pi i n} = -1,$$

y los valores de $(a^b)^c$ son

$$( (-1)^2)^{\frac{1}{2}} = 1^{\frac{1}{2}} = e^{\frac{1}{2} \ln(1)} = e^{\frac{1}{2} 2\pi i n} = \pm 1.$$

Answer 2

Los dos principales casos en los que se cumple esta regla son

1. Cuando $a$ es un real positivo (y $b, c$ son reales).
2. Cuando $b$ y $c$ son ambos enteros.

En este último caso, es válido no sólo para la multiplicación de números, sino en cualquier grupo.

El caso prototípico de exponenciación, donde la base y el exponente son enteros positivos, es un caso especial de cada una de estas situaciones.

Answer 3

Si $b,c$ son números enteros que la regla $(a^b)^c=a^{bc}$ es cierto para todos los $a \in \mathbb{R}$ . Si al menos uno de los dos exponentes es un número real no entero, la regla es verdadera sólo para bases no negativas $a$ .