¿Puede una función ser continua pero no Hölder en un conjunto compacto?

Question

¿Es posible construir una función$f: K \to \mathbb{R}$, donde$K \subset \mathbb{R}$ es compacto, tal que$f$ es continuo pero no Hölder continuo de cualquier orden? Parece que debería haber tal función - probablemente oscilaría salvajemente, como la función de Weierstrass-Mandlebrot. Sin embargo, la función WM en sí no funciona, ya que es Hölder.

Edit: Supongo que tenía en mente para la función de no ser Hölder en cualquier lugar, a pesar de que no lo dije explícitamente.

Answer 1

Citando A Wikipedia:

La función de $f(x) = x^β$ ( $β ≤ 1$ ) definidos en el $[0, 1]$ sirve como un ejemplo prototípico de una función que es $C^{0,α}$ Hölder continua para $0 < α ≤ β$, pero no por $α > β$.

Por supuesto, sólo la parte de $x \mapsto x^\beta$ cerca de $0$ es responsable por el hecho de ser $C^{0,\alpha}$ al $\alpha > \beta$.

Ahora tome $f_n: [0,1] \to \mathbb R$ a escala adecuada, con traducción y versión truncada de la $x^{1/n}$ de manera tal que se apoya en $[\frac1{n+1},\frac1n]$. Ahora considere el $f = \sum_{n\geq2} f_n$.

Answer 2

Considere la función $f\colon[-\pi,\pi]\to\mathbb R$, $f(0)=0$ y $f(x)=1/(\ln\lvert x\rvert-\ln2\pi)$. Es continua, pero no Hölder de cualquier orden desde la Dini integral $$\int_0^h\frac{\lvert f(t)+f(-t)-2f(0)\rvert}tdt=2\int_0^h\frac{dt}{t(\ln t-\ln2\pi)}$$ diverge.

El ejemplo anterior se extrae de un ejemplo del hecho de que la Dini criterio de Dirichlet-Jordan criterio de convergencia de la serie de Fourier son incomparables.

Espero que si alguien puede dar una función continua $f\colon[-1,1]\to\mathbb R$ de manera tal que la Dini integral de la $\int_0^\epsilon\lvert\phi_x(t)\rvert dt/t$ diverge para algunos pequeños $\epsilon>0$ y todos los $x\in(-1,1)$ donde $\phi_x(t)=f(x+t)+f(x-t)-2f(x)$.

Tal vez la totalidad de funciones continuas cuyo Dini integral converge en algún $x$ es pobre, es decir, un contable de la unión de la nada densa subconjuntos de a $C[-1,1]$.

Answer 3

Echa un vistazo al functon$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty {\sin(2^n x)\over n^2}.$ $ Esta función es continua en la línea. Mucha fealdad se produce cuando se intenta demostrar que es Hölder continua.