Problemas abiertos con números p-adic

Question

Estoy en mi último año de mi licenciatura, y estoy haciendo un proyecto en la p-ádico números, y en particular, tratando de encontrar grupos de Galois de simples extensiones de $\mathbb{Q}_p$ (esto es una teoría de Galois, por supuesto). He desarrollado y que se familiarice con las propiedades básicas de las valoraciones, local anillos, y la topología/análisis/álgebra de la p-ádico anillos y campos. Estoy considerando este campo más en estudios de posgrado, pero no he tenido suerte buscando abrir problema en este campo, por lo que no estoy seguro de si este es un campo útil para seguir.

Para la investigación que estoy usando los libros de Koblitz y Gouvea y, a continuación, los Campos Locales Cassels. No he visto ninguna mención de cualquiera de los puntos específicos de la investigación moderna, aparte de la mención de que $\mathbb{C}_p$ es mucho menos conocida que la de $\mathbb{C}$ así que me estoy preguntando si alguien de aquí me puede ayudar.

Muchas gracias. -Robbie

Answer 1

El área de las continuas representaciones de localmente $p$-ádico de la analítica de grupos (por ejemplo en $\mathbf{Z}_p$, $\mathbf{Q}_p$, $\mathrm{GL}_n(\mathbf{Q}_p)$, el grupo de la unidad de un finito-dimensional de la división de álgebra $\mathbf{Q}_p$, etc..) localmente convexo topológicos, espacios vectoriales sobre $\mathbf{Q}_p$ ha sido objeto de gran interés en la investigación en los últimos años (y esto continúa hasta hoy). Esta teoría fue iniciada por Peter Schneider y Jeremy Teitelbaum en la década del 2000, que introduce y estudiado diversas clases de niza representaciones. Además de su propio interés intrínseco, la teoría es interesante también el número de los teóricos por su utilidad en la formulación de la $p$-ádico (local) Langlands correspondencia para $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$, uno de los grandes logros en la aritmética-geometría algebraica y la teoría de la representación de los últimos años.

Esta área, al igual que muchas zonas de la moderna teoría de números, implica una genial mezcla de ideas y herramientas de la topología, la teoría de la representación, $p$-ádico el análisis funcional, y no de Arquímedes analítica y geometría algebraica.

Answer 2

Una buena fuente de problemas abiertos se pueden encontrar leyendo acerca de preperiodic puntos.

Por ejemplo, aquí está una búsqueda en Google scholar.

Uno de los lugares en los que p-ádico y análisis p-ádico dinámica viene en las diversas conjeturas que se remonta a Morton y Silverman (1994) acotamiento conjetura basada en una anterior teorema de Northcott. (p-ádico de análisis es también una característica clave en la Obra de Bernard de la prueba de la racionalidad parte de las conjeturas de Weil; usted probablemente está familiarizado con este hecho, si usted está leyendo Koblitz - si no, ver un post anterior aquí.)

Más precisamente, se puede generalizar puntos fijos periódicos puntos, periódico puntos a preperiodic puntos, y luego generalizar a una canónica de la altura de la función de los racionales que da cero cuando el punto es preperiodic.

Tomando nota de que Northcott el resultado de la preocupación de un número finito de racional preperiodic puntos para un polinomio, uno podría (como Morton y Silverman hacer) conjetura que este número finito puede ser delimitada con base en el grado del polinomio. En consonancia con la generalización anterior, uno podría ofrecer similares conjeturas acerca de los límites inferiores de los llamados "canónicos de la altura de la función, también en términos de un polinomio de grado.

Para algunos detalles y más referencias, retirar el inicio de este trabajo en canónica alturas, local canónica alturas, y de hecho cálculos con polinomios cúbicos para proporcionar "pruebas" con respecto a las conjeturas relacionadas con el material abordado aquí.