¿Cómo probar esta compleja desigualdad con la misma desigualdad (2014 china CMO) de Cauchy-Schwarz

Question

Permita que% # %% $r$sea tal que$z_{1},z_{2},\cdots,z_{n}$ $ Demuestre que$$ |z_{i}-1|\le r,i=1,2,\cdots,n,r\in(0,1). $ $ ¿Podemos usar la identidad de http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange's_identity ?

Sé que si$$|z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}|\left|\dfrac{1}{z_{1}}+\dfrac{1}{z_{2}}+\cdots+\dfrac{1}{z_{n}}\right|\ge n^2(1-r^2).$, entonces usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos$z_{i}\in R$ $ Este problema es de China 2014 Mathematical Olympiad Contest.

Answer 1

Tenga en cuenta que$|z_i-1|\leq r$ implica$|\arg z_i|\leq\cos^{-1}\sqrt{1-r^2}$.

Generalizaremos la desigualdad. Fijar$0<\theta<90^\circ$; Mostraremos$$\left|\sum z_i\right|\left|\sum\frac1{z_i}\right|\geq n^2\cos^2\theta$ $ para los números complejos distintos de cero$z_1,\ldots,z_n$ con$|\arg z_i|\leq\theta$. Esto implica inmediatamente la deseada desigualdad.

Ahora$\Re(z_i)=|z_i|\cos\arg z_i$ y$\Re\left(\frac1{z_i}\right)=\frac1{|z_i|}\cos\arg z_i$, así que$$\Re(z_i)\Re\left(\frac1{z_i}\right)=\cos^2\arg z_i\geq\cos^2\theta.$ $ Por lo tanto, [\begin{align*} \left|\sum z_i\right|\left|\sum\frac1{z_i}\right| &\geq\Re\left(\sum z_i\right)\Re\left(\sum\frac1{z_i}\right)\quad(\because |z|\geq\Re(z))\\ &=\left(\sum\Re(z_i)\right)\left(\sum\Re\left(\frac1{z_i}\right)\right)\\ &\geq\left(\sum\sqrt{\Re(z_i)\Re\left(\frac1{z_i}\right)}\right)^2\quad\mbox{(C-S)}\\ &\geq(n\cos\theta)^2, \end {align *}

Answer 2

De esta generalización clásica de la desigualdad AM-GM

Si$z_j=\rho_je^{i\theta_j}$ donde$|\theta_j|<\phi$ y$\phi<\frac{\pi}{2}$

entonces $\left(\cos{\phi}\right) |z_1z_2...z_n|^{1/n}\leq\frac{1}{n}|z_1+z_2...z_n|$

Esto se muestra observando que$RHS \geq \frac{1}{n}*Re(z_1+z_2...z_n)=\frac{1}{n}*(Re(z_1)+Re(z_2)...Re(z_n))$

Nota$Re(z_j)\geq\rho_j\cos{\phi}$ por lo que el lema sigue de AM-GM regular

Desde la geometría sabemos que en su problema los números complejos tienen argumentos$|\theta| \leq \sin^{-1}{r}$

Este lema muestra que el LHS (lado izquierdo) de su desigualdad$\geq (1-r^2)*n^2$ como se desee