Suponer que $a,b,c,d>0$. ¿Hay alguna prueba de que$$ a\sqrt[3]{\frac{1+d}{b^3+abcd}}+b\sqrt[3]{\frac{1+d}{c^3+abcd}}+c\sqrt[3]{\frac{1+d}{a^3+abcd}}\geq 3?$ $ intenté por ejemplo Jensen, Karamata, Power mean y la desigualdad de Minkowski sin éxito.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?La desigualdad puede escribirse como$$(1+d)\left(\sum_{\text{cyc}}\frac{a}{\sqrt[3]{b^3+abcd}}\right)^3\geq27$ $ Por la desigualdad generalizada de Hölder$$\left(\sum_{\text{cyc}}\frac{a}{\sqrt[3]{b(b^2+d\,ca)}}\right)^3\left(\sum_{\text{cyc}}ab\right)\left(\sum_{\text{cyc}}a(b^2+d\,ca)\right)\geq\left(\sum_{\text{cyc}}a\right)^5$ $ Esto reduce el problema a$$(1+d)\left(\sum_{\text{cyc}}a\right)^5\geq27\left(\sum_{\text{cyc}}ab\right)\left(\sum_{\text{cyc}}a(b^2+d\,ca)\right)$ $ Por lo tanto, es$$\sum_{\text{cyc}}a(b^2+d\,ca)=\sum_{\text{cyc}}ab^2+d\sum_{\text{cyc}}ca^2=(1+d)\sum_{\text{cyc}}ab^2$ $