¿Qué valores de$a,b\in\mathbb{Z^+}$ satisfacen$a^b=b^a+1$?

Question

Qué valores de $a,b\in\mathbb{Z^+}$ satisfacer la ecuación de $a^b=b^a+1$ ?

Sé que una respuesta es $a=3,b=2$, pero sé que sólo por suerte. ¿Cómo puedo llegar a la respuesta? Hay más de ellos? Por qué?

Supongamos que yo no sé la respuesta, ¿cómo puedo empezar?

Empecé tomando logaritmos a ambos lados, a continuación, cambiando $1$$b^a/b^a$, luego de la simplificación, pero nada. Siempre termino donde empiezo, yo sólo necesita un toque para hacer que el tren de rodadura.

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Algunas personas responden erróneamente porque me definen $\mathbb{Z^+}$$\{1,2,\dots\}$, e $0\not\in\mathbb{Z^+}$. Los valores correctos por ahora se $a=3,b=2$$a=2,b=1$, pero son los únicos? Por qué?

Answer 1

Como señaló @ i9Fn en los comentarios, esta es otra forma de la conjetura catalana , que Preda Mihăilescu demostró que$a=3,b=2$ es la única solución para este problema. (Y$a=2, b=1$ si permitimos$a=b=1$)