Hay una función con la propiedad $f(n)=f^{(n)}(0)$?

Question

Hay un no idéntica a cero, real-analítica de la función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, que satisface

$$f(n)=f^{(n)}(0),\quad n\in\mathbb{N} \text{ or } \mathbb N^+?$$

Lo que tengo hasta el momento:

Conjunto

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{n!}x^n,$$

a continuación, para $n=0$ esto funciona de todos modos y lo demás que tenemos

$$a_n=f^{(n)}(0)=f(n)=\sum_{k=0}^\infty\frac{a_k}{k!}n^k.$$

Ahora$a_1=\sum_{k=0}^\infty\frac{a_k}{k!}1^k=a_0+a_1+\sum_{k=2}^\infty\frac{a_k}{k!},$, por lo que

$$\sum_{k=2}^\infty\frac{a_k}{k!}=-a_0.$$

Para $n=2$ encontramos

$$a_2=\sum_{k=0}^\infty\frac{a_k}{k!}2^k=a_0+a_1+2a_2+\sum_{k=3}^\infty\frac{a_k}{k!}2^k.$$

El primer caso fue de alguna manera especial desde $a_1$ cancelados, pero ahora tengo que hacer malabares con alrededor de más y más cosas.

Yo podría expresar $a_1$ en términos de la mayor $a's$, y, a continuación, para $n=3$ buscar $a_2$ y así sucesivamente. Yo no se mucho, sin embargo. Hay un circuito cerrado de expresión? Mi plan era argumentar de alguna manera, que si puedo encontrar un algoritmo para expresar $a$'s en términos de mayor $a$'s, que luego, en el límite, la serie de los restantes suma o sumas de dinero iría a $0$ y me gustaría, finalmente, encontrar mi función.

O tal vez hay un mejor enfoque a un problema.

Answer 1

Vamos complejo de número de $c$ ser una solución de $e^c=c$. Por ejemplo, $c = -W(-1)$ donde $W$ es la función W de Lambert. Entonces, dado que la función de $f$ definido por

$$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{e^{cn}x^n}{n!} $$

evalúa a$e^{e^c x} = e^{cx}$,$f(n) = e^{cn} = f^{(n)}(0)$. Para una solución real, vamos a $c = a+bi$ ser partes real e imaginaria y deje $g(x)$ ser la parte real de la $f(x)$. Más explícitamente:

$$ g(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{e^{un}\cos(bn)\;x^n}{n!} $$

evalúa a $e^{ax}\cos(bx)$. Con la rama principal de Lambert W, esto es, aproximadamente:

$$ g(x) = e ^{0.3181315052 x} \operatorname{cos} (1.337235701 x) $$

Answer 2

(aún no una respuesta, pero demasiado largo para un comentario)

upp, veo que había una mejor respuesta de G. Edgar cruce. Posiblemente lo voy a borrar este comentario pronto

Para mí, esto parece un autovalor-problema.
Vamos a utilizar la siguiente matriz y vector-notaciones. Los coeficientes de la alimentación de la serie del tratado de la función f(x) están en un columnvector A.
Se denota un "vandermonde"-rowvector V(x) que contiene las sucesivas potencias de x, tal que $\small V(x) \cdot A = f(x) $
Se denota el vector diagonal de consecutivos factoriales como F y su recíproco como f
A continuación, se denota la matriz, la cual es una recopilación de V(n) consecutivos de n como ZV. Entonces lo primero que hemos
$\qquad \small ZV \cdot A = F \cdot A $
y la reorganización de los factoriales
$\qquad \small f \cdot ZV \cdot A = A $
que es un autovalor-problema al autovalor $\small \lambda=1 $ . Por lo tanto tenemos el problema formal de la resolución de
$\qquad \small \left(f \cdot ZV - I \right) \cdot A = 0 $
Sin embargo, por el momento no veo cómo pasar al siguiente paso...

---

[añadido] La solución de G. Edgar da la necesaria sugerencia

Si no podemos cambiar, pero ampliar:

$\qquad \pequeño \begin{eqnarray} ZV \cdot A &=& F \cdot A \\ ZV \cdot (f \cdot F)\cdot A &=& F \cdot A \\ (ZV \cdot f) \cdot (F \cdot A) &=& (F \cdot A) \end{eqnarray} $

conseguimos una mejor ansatz. Vamos a denotar más simple de la matriz de constantes de $\small W=ZV \cdot f \qquad B=F \cdot A $ y reescribir esto como
$\qquad \small W \cdot B = B $.
Ahora W es el carleman-matriz de mapas de $\small x \to \exp(x) $ por

$\qquad \small W \cdot V(x) = V(\exp(x)) $

Por lo tanto si $\small x = \exp(x) $ para algunos x , entonces x es cierta (complejo) punto fijo $\small t_k$ $\small f(x)=\exp(x)$ y tenemos a un posible tratado de identidad:

$\qquad \small W \cdot V(t_k) = V(t_k) \to B = V(t_k) \to A = f \cdot B = f \cdot V(t_k) $

Entonces los coeficientes de la alimentación de la serie son

$\qquad \small f(x) = 1 + t_k x + t_k^2/2! x^2 + t_k^3/3! x^3 + \ldots $

y $\small f(x) = \exp(t_k \ x) $

Porque hay infinitamente muchos de esos fixpoints (todos son complejos) tenemos una infinidad de soluciones de este tipo (no podría ser de otros tipos, los vectores $\small V(t_k) $ no necesita ser el único tipo de posibles vectores propios de W )