¿Cuál es la transformada de Fourier para$f(x)=e^{-x^2}$

Question

Recuerdo que eran una regla especial para este tipo de función, pero no puedo recordar lo que era. Alguien sabe cómo?

Gracias

Answer 1

Advertencia: Estoy usando la normalización$\hat f(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-it\omega}\,dt$.

Una forma linda de derivar la transformada de Fourier de$f(t) = e^{-t^2}$ es el siguiente truco: Dado que$$f'(t) = -2te^{-t^2} = -2tf(t),$ $ tomando la transformada de Fourier de ambos lados nos dará$$i\omega \hat f(\omega) = -2i\hat f'(\omega).$ $

Resolviendo esta ecuación diferencial para$\hat f$ yields$$\hat f(\omega) = Ce^{-\omega^2/4}$ $ y conectando$\omega = 0$ finalmente da$$ C = \hat f(0) = \int_{-\infty}^\infty e^{-t^2}\,dt = \sqrt{\pi}.$ $

Es decir