¿Por qué es $U(1)$ ¿el grupo gauge en el electromagnetismo clásico?

Question

¿Puede alguien dar una físico por lo que $U(1)$ es el grupo gauge del electromagnetismo clásico?

Estoy familiarizado con el formalismo del haz principal para la teoría de Yang-Mills y veo que como el álgebra de Lie de $U(1)$ es $\mathbb{R}$ las ecuaciones de Yang-Mills se reducen a las ecuaciones de Maxwell. Sin embargo, estoy buscando una razón física plausible para que $U(1)$ está relacionado con el electromagnetismo clásico.

Esta parece ser la misma pregunta: La electrodinámica clásica como $\mathrm{U}(1)$ teoría gauge pero no tiene una respuesta satisfactoria.

Answer 1

Cuando Maxwell formuló sus ecuaciones lo hizo utilizando cuaterniones, que por cierto es un formalismo más elegante, y Heaviside las formuló como las leemos normalmente. Nuestras formas vectoriales estándar de las ecuaciones de Maxwell son más convenientes para la ingeniería eléctrica. Estas ecuaciones suman linealmente los campos eléctrico y magnético. Esta propiedad lineal es una firma de la naturaleza abeliana del grupo de Lie $U(1)$ para la electrodinámica.

Permítanme argumentar esto en un lenguaje algo más moderno con la mecánica cuántica. Supongamos que tenemos un campo (u onda) cuántico que se transforma como $\psi(\vec r) \rightarrow e^{i\theta(\vec r)}\psi(\vec r)$ . Ahora actúa sobre esto con el operador diferencial $\hat p = -i\hbar\nabla$ y encontramos $$ \hat p\psi(\vec r) = -i\hbar\nabla\psi(\vec r) = -i\hbar\left(\nabla\psi(\vec r) + i\psi(\vec r)\nabla\theta\right) $$ Vemos entonces que esto no se transforma de forma homogénea, por lo que cambiamos el operador en uno covariante por $\nabla \rightarrow \nabla - ie\vec A$ donde $\vec A$ es el potencial vectorial que resta el $\nabla\theta$ . Ahora podemos realizar cálculos de mecánica cuántica que incluyan el campo electromagnético de forma coherente.

Consideramos ahora la forma diferencial covariante ${\bf D} = {\bf d} - ie{\bf A}$ tal que ${\bf d} = dx\cdot\nabla$ y ${\bf A} = {\vec A}\cdot dx$ . Ahora podemos ver como la acción de ${\bf D}\wedge {\bf D}$ en una función de prueba unitaria o constante $$ {\bf D}\wedge {\bf D}\odot\mathbb I = {\bf d}\wedge{\bf d} \odot\mathbb I - e^2{\bf A}\wedge{\bf A} \odot\mathbb I - ie{\bf d}\wedge{\bf A} \odot\mathbb I - ie{\bf A}\wedge{\bf d} \odot\mathbb I , $$ donde el producto cuña de una forma p consigo misma es cero y las manipulaciones elementales dan $$ {\bf D}\wedge {\bf D}\odot\mathbb I = ie\left({\bf d}\wedge{\bf A}\right) \odot\mathbb I . $$ Rompiendo la forma diferencial en el potencial vectorial se obtiene el campo magnético por $B = -\nabla\times A$ que el potencial vectorial de una forma acuñada consigo mismo es cero es una firma del abeliano o $U(1)$ simetría del campo electromagnético. Para otros campos gauge existe un índice de color, donde hay diferentes tipos de cargas, y así ${\bf A}\wedge{\bf A}$ es distinto de cero y esto es una firma de la naturaleza no abeliana de otros campos gauge, en particular las fuerzas nucleares débil y fuerte.

Esto se hace de forma tridimensional o no relativista, y por supuesto hay que generalizarlo a la QM relativista o a la ecuación de Dirac para la dinámica cuántica de un fermión. Así que esta es una introducción un poco elemental. Sin embargo, el resultado principal es la razón por la que el electromagnetismo es abeliano o $U(1)$ es que sólo hay una carga eléctrica $e$ con valores positivos y negativos, mientras que otros campos gauge tienen una serie de cargas de color.