Espacio de rotaciones arbitrarias de un cubo

Question

Supongamos que tengo un cubo de $[-1,1]^3\subset\mathbb{R}^3$. Estoy autorizado para girar sobre cualquier ángulo/eje que pasa por el origen, en lugar de sólo $90^\circ$ sobre los ejes de coordenadas, por ejemplo, mediante la aplicación de elementos de $SO(3)$. A diferencia de $SO(3)$, sin embargo, deseo para identificar cualquier par de rotaciones que alinear caras del cubo. En otras palabras, el deseo de identificar cualquier par de rotaciones que hacer el cubo "look" de la misma, si es pintado de manera uniforme.

Si el cubo está obligado a rotar $90^\circ$ a lo largo de los ejes de coordenadas, el grupo resultante de las rotaciones es el octaédrico grupo isomorfo a $S_4$. Este subgrupo no es normal, sin embargo, así que no se puede construir un cociente.

Hay un nombre/estructura/parametrización/representación de este cociente espacio?

[REVISIÓN DE la PREGUNTA ORIGINAL: aparece $SO(3)$ es simple, lo que significa que no es posible cociente por $S_4.$ Ninguna orientación acerca de cómo caracterizar este cociente /espacio/, sin embargo, sería útil.]

Answer 1

No es seguro que esto es lo que significa por un parametrización, sino $SO(3)$ es homeomórficos a un cociente de la bola de $\{x\in R^3:|x|\le\pi\}$. El la correspondencia es, dado $x$, es la rotación de $R^3$ $x$ por el ángulo de $|x|$. El cociente es identificar a $x$ $-x$ al $|x|=\pi$, ya que estos dan la misma rotación. Entonces, desde el $SO(3)$ es el cociente de la pelota, así que es tu espacio.

La descripción adicional en muchos topología de textos es que $SO(3)$ es homeomórficos para el espacio proyectivo $RP^3$. Supongo que esto no va a ser útil, pero sólo en caso de que: se realiza empujando la pelota en un hemisferio en $R^4$; a continuación, cada línea a través del origen de $R^4$ se asocia con una rotación de $R^3$.