Una prueba esclarecedora de una identidad combinatoria específica

Question

Las preocupaciones acerca de la aritmética de género de la proyectiva hypersurfaces me llevó a realizar el siguiente combinatoria conjetura: $${d-1\choose n+1} =\sum_{i=0}^{n+1} (-1)^{n+i+1} {d\choose i}$$ para $d \geq 1$, $n \geq 0$. Si he cometido errores en mi código, yo también era capaz de encontrar algunos razonablemente numérica fuerte evidencia de que este es, de hecho, una identidad. Por desgracia, mi habilidad combinatoria es lo suficientemente buenos para que mientras que yo podría ser capaz de demostrar la declaración con una gran cantidad de esfuerzo, dudo que pueda encontrar una gran prueba.

Alguien puede suministrar una iluminación justificante de la declaración anterior?

Obviamente, un contraejemplo sería suficiente, pero dudo que haya uno.

Nota adicional: no he visto una manera razonable para la búsqueda de esta identidad específica, por lo que es muy posible que este es un duplicado exacto de la otra pregunta, en cuyo caso mi pregunta debe ser cerrado.

Answer 1

Vamos a sustituir$n+1$ por$n$ con el fin de simplificar la notación; La identidad conjeturada se convierte en

ps

Supongamos primero que$$\binom{d-1}n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n+i}\binom{d}i=(-1)^n\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{d}i\;.$. Claramente$d\le n$, y

$\dbinom{d-1}n=0$$$\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{d}i=\sum_{i=0}^d(-1)^i\binom{d}i=(1-1)^d=0$ d \ ge 1 $.

Supongamos ahora que$ by the binomial theorem, since $. Entonces

$$ \begin{align*} \sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{d}i&=\sum_{i=0}^n(-1)^i\left(\binom{d-1}i+\binom{d-1}{i-1}\right)\\ &=\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{d-1}i+\sum_{i=1}^n(-1)^i\binom{d-1}{i-1}\\ &=\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{d-1}i+\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^{i+1}\binom{d-1}i\\ &=\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{d-1}i-\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i\binom{d-1}i\\ &=(-1)^n\binom{d-1}n\;, \end {align *} $$

Y la identidad sigue inmediatamente multiplicando por$1\le n<d$.