Demostrar o refutar que existe un polinomio con coeficientes enteros tal que el número $\sqrt[3]{2}+\sqrt{1+\sqrt2}$ es una raíz.
Mi trabajo hasta ahora:
Dejemos que $P(x)=x^3-2$ . Entonces $\sqrt[3]{2}$ es una raíz de $P(x)$
Dejemos que $Q(x)=x^4-2x^2-1$ . Entonces $\sqrt{1+\sqrt2}$ es una raíz de $Q(x)$ .
$\left(x=\sqrt{1+\sqrt2}\Rightarrow x^2=1+\sqrt2\Rightarrow x^2-1=\sqrt2 \Rightarrow x^4-2x^2+1=2 \Rightarrow x^4-2x^2-1=0\right)$
Necesito ayuda aquí.
Lo es, porque es la aplicación iterada de la suma, la multiplicación y los radicales. Estas operaciones, junto con la resolución de raíces de polinomios en general (incluyendo radicales simples) generan el conjunto de números algebraicos, que es cerrado para estas operaciones. Eso por sí solo es una prueba de que tu número es una raíz de algún polinomio (ya que es un número algebraico).
Desentrañar el número es en realidad una construcción muy fácil del polinomio que buscas. Sólo tienes que realizar operaciones algebraicas sobre tu raíz hasta que obtengas un número entero.
$$x=\sqrt[3]{2}+\sqrt{1+\sqrt{2}}$$ deshacerse de la raíz cúbica $$(x-\sqrt{1+\sqrt{2}})^3=2$$ ampliar $$x^3-3x^2 \sqrt{1-\sqrt{2}}+3x(1-\sqrt{2})-\sqrt{1-\sqrt{2}}(1-\sqrt{2})=2$$ reorganizar para matar las raíces dobles en el siguiente paso $$x^3+3x(1-\sqrt{2})-2=(3x^2+1-\sqrt{2})\sqrt{1-\sqrt{2}}$$ cuadrado de nuevo $$(x^3+3x(1-\sqrt{2})-2)^2=(3x^2+1-\sqrt{2})^2(1-\sqrt{2})$$ Ya casi hemos llegado, lo único que falta es el $\sqrt{2}$ . Expandir todos los términos (no lo voy a hacer, es complicado), agrupar aquellos con $\sqrt{2}$ en un lado, y cuadrado de nuevo. Obtendrás un polinomio de orden $12$ con una de las raíces igual a su número inicial.
"...la aplicación iterada de la suma, la multiplicación y las raíces [...] son operaciones que definen el conjunto de los números algebraicos..." Cuidado aquí, como sabes, hay números algebraicos que no son radicales, es decir, que no se pueden obtener por aplicación iterada de la suma, la multiplicación, la división y la toma $n$ -raíces de números racionales. Usted parece sugerir lo contrario aquí.
No es necesario mostrar explícitamente un polinomio, lo que sería muy engorroso para, por ejemplo, $$ \sqrt[5]{3-\sqrt[3]{41}}+\sqrt[91]{101-\sqrt{2}} $$ Se puede, en cambio, utilizar un resultado más general: si se añade un número algebraico a un campo formado por números algebraicos, el campo resultante también está formado por números algebraicos.
Un número algebraico $r$ es un número complejo tal que existe un polinomio con coeficientes racionales (o, equivalentemente, coeficientes enteros) que tiene $r$ como raíz.
Esto se basa en algunos lemas generales.
Lema 1. Si $K$ es una extensión finita del campo $F$ entonces cada elemento de $K$ es algebraico sobre $F$ .
Prueba. Dejemos que $b\in K$ y asumir la dimensión de $K$ como espacio vectorial sobre $F$ es $n$ (la dimensión es finita por supuesto). Entonces el conjunto $\{1,b,b^2,\dots,b^n\}$ depende linealmente de $F$ lo que significa que hay $a_0,a_1,\dots,a_n\in F$ , no todo cero, tal que $a_0+a_1b+\dots+a_nb^n=0$ . Por lo tanto, $b$ es una raíz del polinomio $a_0+a_1X+\dots+a_nX^n\in F[X]$ .
Lema 2. Si $K$ es una extensión finita del campo $F$ y $L$ es una extensión finita del campo $K$ entonces $L$ es una extensión finita del campo $F$ .
Esbozo de prueba. Demostrar que, si $\{b_1,\dots,b_n\}$ es una base para $K$ en $F$ y $\{c_1,\dots,c_m\}$ es una base para $L$ en $K$ entonces $\{b_ic_j:1\le i\le n,1\le j\le m\}$ es una base para $L$ en $F$ .
Lema 3. *Si $K$ es una extensión del campo $F$ y $b\in K$ es algebraico sobre el campo $F$ , entonces el campo $F(b)$ (el subcampo mínimo de $K$ que contiene $F$ y $b$ ) es una extensión finita de $F$ .
Esbozo de prueba. Si $a_0+a_1X+\dots+a_nX^n\in F[X]$ es el polinomio mínimo de $b$ en $F$ (cualquier polinomio no nulo en $F[X]$ teniendo $b$ como raíz sería suficiente), entonces $\{1,b,\dots,b^n\}$ es un conjunto de extensión para $F(b)$ como un espacio vectorial sobre $F$ .
Ahora puede observar que $\sqrt[3]{2}+\sqrt{1+\sqrt{2}}\in\mathbb{Q}(\sqrt{1+\sqrt{2}})(\sqrt[3]{2})$ . Desde $\sqrt[3]{2}$ es obviamente algebraico sobre $\mathbb{Q}$ también es algebraico sobre $\mathbb{Q}(\sqrt{1+\sqrt{2}})$ . Además $\sqrt{1+\sqrt{2}}$ es algebraico sobre $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ que a su vez es algebraico sobre $\mathbb{Q}$ .
Las aplicaciones repetidas de los lemas muestran que $\mathbb{Q}(\sqrt{1+\sqrt{2}})(\sqrt[3]{2})$ es una extensión finita de $\mathbb{Q}$ por lo que cualquiera de sus elementos es algebraico sobre $\mathbb{Q}$ .
$$\mathbb{Q}[\alpha,\beta]/(\alpha^3-2,\beta^4-2\beta^2-1)$$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ con dimensión $12$ : una base viene dada por $\alpha^n \beta^m$ para $0\leq n\leq 2$ y $0\leq m \leq 3$ . De ello se deduce que si representamos $(\alpha+\beta)^k$ para $k=0,1,\ldots,11,12$ con respecto a dicha base, obtenemos $13$ vectores en un espacio vectorial de dimensión $12$ por lo que podemos encontrar una combinación lineal de ellos que sea igual a cero, por lo tanto un polinomio con coeficientes en $\mathbb{Q}$ y el grado $\leq 12$ que se desvanece en $\alpha+\beta$ . A saber, tal polinomio es: $$x^{12}-6x^{10}+8x^9 +9 x^8+28 x^6-144x^5 + 63 x^4+96x^3-78 x^2-168 x-41. $$
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