Queremos mostrar que
\etiqueta1[Ω1,Ω2]=ddtR1(t)Ω2R1(t)−1|t=0
Podemos empezar a hacer esto por la informática:
ddt(R1(t)Ω2R1(t)−1)|t=0=[ddtR1(t)(Ω2R1(t)−1)]|t=0+[(R1(t)Ω2)ddtR1(t)−1]|t=0=[Ω1Ω2R1(0)−1]+[R1(t)Ω2ddtR1(t)−1]|t=0=[Ω1Ω2R1(0)−1]+[R1(t)Ω2(−R1(t)−1)(ddtR1(t))R1(t)−1)]|t=0=[Ω1Ω2R1(0)−1]−[R1(t)Ω2R1(t)−1(ddtR1(t))R1(t)−1)]|t=0=[Ω1Ω2R1(0)−1]−[R1(0)Ω2R1(0)−1(ddtR1(t)|t=0)R1(0)−1)]=[Ω1Ω2R1(0)−1]−[R1(0)Ω2R1(0)−1Ω1R1(0)−1)]
Ver los Derivados de la Inversa de la Matriz para obtener detalles sobre la tercera línea de la derivación.
No hay mucho más que podemos ir sin saber más detalles acerca de R1. De hecho, creo que podría haber sido definido como
Ri(t)=eΩit
Pero es sólo necesario exigir Ri(0)=I. A continuación, el final de la línea anterior da Ω1Ω2−Ω2Ω1.
Actualización para incluir requisitos adicionales:
La curva es en SO(3)
Esto no es siempre cierto. Una Mentira grupo es un subgrupo de GL, pero una Mentira álgebra siempre contiene la 0 matriz. Se asigna a la identidad de la Mentira de grupo. Así que si Ω2=0 en la de arriba, a continuación, la curva de C(t)=0 no radica en SO(3).
Espectáculo [Ω1,Ω2] so(3)
Esto es cierto independientemente de las consideraciones anteriores. Ω1,Ω2 son elementos de so(3) que es cerrado bajo la suma y la multiplicación (matrices de la forma XT=−X).