¿Mostrar que el soporte de Lie está en el álgebra de Lie?

Question

Deje $so(3)$ ser la Mentira de Álgebra de $SO(3)$ $R\in SO(3); \Omega_1,\Omega_2 \in so(3)$ $\Omega_n = \frac{d}{dt}R_n(t)$ en el punto de $t=0$. Por lo $\Omega_n$ es el vector tangente de la curva de $R_n(t)$$t=0$.

Para mostrar que la Mentira de soporte de $[\Omega_1,\Omega_2]$ es un elemento de $so(3)$ mi profesor escribió:

$$\etiqueta{1}[\Omega_1,\Omega_2] = \left.\frac{d}{dt}R_1(t)\Omega_2 R_1(t)^{-1}\right|_{t=0}$$

Estoy tratando de entender, pero no puedo ver por qué esto muestra que el colector es un elemento de $so(3)$.

Entiendo que para este tangencial del vector a en $so(3)$, el producto $R_1(t)\Omega_2 R_1(t)^{-1}$ tiene que ser una parametrización de la curva en $SO(3)$.

Pero no veo por qué es una curva en $SO(3)$.

Answer 1

Queremos mostrar que $$\etiqueta{1}[\Omega_1,\Omega_2] = \left.\frac{d}{dt}R_1(t)\Omega_2 R_1(t)^{-1}\right|_{t=0}$$

Podemos empezar a hacer esto por la informática: $$\begin{eqnarray*} \left.\frac{d}{dt}\left(R_1(t)\Omega_2 R_1(t)^{-1}\right)\right|_{t=0} &=& \left.\left[\frac{d}{dt}R_1(t)(\Omega_2 R_1(t)^{-1})\right]\right|_{t=0} + \left.\left[(R_1(t)\Omega_2) \frac{d}{dt}R_1(t)^{-1}\right]\right|_{t=0} \\ &=& \left[\Omega_1\Omega_2 R_1(0)^{-1}\right] + \left.\left[R_1(t)\Omega_2 \frac{d}{dt}R_1(t)^{-1}\right]\right|_{t=0} \\ &=& \left[\Omega_1\Omega_2 R_1(0)^{-1}\right] + \left.\left[R_1(t)\Omega_2 (-R_1(t)^{-1})\left(\frac{d}{dt}R_1(t)\right)R_1(t)^{-1})\right]\right|_{t=0} \\ &=& \left[\Omega_1\Omega_2 R_1(0)^{-1}\right] - \left.\left[R_1(t)\Omega_2 R_1(t)^{-1}\left(\frac{d}{dt}R_1(t)\right)R_1(t)^{-1})\right]\right|_{t=0} \\ &=& \left[\Omega_1\Omega_2 R_1(0)^{-1}\right] - \left[R_1(0)\Omega_2 R_1(0)^{-1}\left.\left(\frac{d}{dt}R_1(t)\right|_{t=0}\right)R_1(0)^{-1})\right] \\ &=& \left[\Omega_1\Omega_2 R_1(0)^{-1}\right] - \left[R_1(0)\Omega_2 R_1(0)^{-1}\Omega_1R_1(0)^{-1})\right] \\ \end{eqnarray*}$$

Ver los Derivados de la Inversa de la Matriz para obtener detalles sobre la tercera línea de la derivación.

No hay mucho más que podemos ir sin saber más detalles acerca de $R_1$. De hecho, creo que podría haber sido definido como $$R_i(t) = e^{\Omega_it}$$ Pero es sólo necesario exigir $R_i(0) = I$. A continuación, el final de la línea anterior da $\Omega_1\Omega_2 - \Omega_2\Omega_1$.

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Actualización para incluir requisitos adicionales:

La curva es en $SO(3)$

Esto no es siempre cierto. Una Mentira grupo es un subgrupo de $GL$, pero una Mentira álgebra siempre contiene la $0$ matriz. Se asigna a la identidad de la Mentira de grupo. Así que si $\Omega_2 = 0$ en la de arriba, a continuación, la curva de $C(t) = 0$ no radica en $SO(3)$.

Espectáculo $[\Omega_1, \Omega_2]$ $\mathfrak{so}(3)$

Esto es cierto independientemente de las consideraciones anteriores. $\Omega_1, \Omega_2$ son elementos de $\mathfrak{so}(3)$ que es cerrado bajo la suma y la multiplicación (matrices de la forma $X^T = -X$).

Answer 2

La fórmula (1) es un poco extraño, de hecho, $R_1(t)\Omega_2 R_1(t)^{-1}$ no está necesariamente en $SO(3)$ ($\Omega_2$ podría tener un valor nulo determinante, por ejemplo).

Una manera de demostrar que el resultado, es considerar que (por $t \to 0$):

$$R_1(t) = I + t \Omega_1 + t^2 W_1 + o(t^2)$$ $$R_2(t) = I + t \Omega_2 + t^2 W_2 + o(t^2)$$

Entonces:

$$R_1(t)R_2(t) = I + t (\Omega_1 + \Omega_2) + t^2 (W_1 + W_2 + \Omega_1 \Omega_2) + o(t^2)$$ $$R_2(t)R_1(t) = I + t (\Omega_1 + \Omega_2) + t^2 (W_1 + W_2 + \Omega_2 \Omega_1) + o(t^2)$$

La puede considerar $L(t) = R_1(t)^{-1}R_2(t)^{-1}R_1(t)R_2(t)$ que es una curva en $SO(3)$. Desde $R_2(t)R_1(t)L(t) = R_1(t)R_2(t)$, puede desarrollar término por término de cada lado y encontrar que:

$$L(t) = I + t^2([\Omega_1, \Omega_2]) + o(t^2)$$

Si vuelve a parametrise L con $s = t^2$$L(s) = I + s([\Omega_1, \Omega_2]) + o(s)$, con Lo que ha encontrado a una curva en $SO(3)$ cuya tangente es $[\Omega_1, \Omega_2]$.

Answer 3

Encontró una solución, pero no tiene nada que ver con$(1)$:

$$\begin{align} [\Omega_1,\Omega_2] & = \Omega_1\Omega_2-\Omega_2\Omega_1 = (-\Omega_1^T)(-\Omega_2^T) - (-\Omega_2^T)(-\Omega_1^T) \\ & = \Omega_1^T\Omega_2^T-\Omega_2^T\Omega_1^T=(\Omega_2\Omega_1)^T-(\Omega_1\Omega_2)^T = (\Omega_2\Omega_1-\Omega_1\Omega_2)^T \\ & = -[\Omega_2,\Omega_1] \end {align}$$

Answer 4

Aquí hay una posibilidad de cómo el profesor estaba llegando al resultado de que $[\Omega_1, \Omega_2]$ es un elemento de la Mentira de álgebra. Supongamos que tomamos la fórmula anterior como la definición de la Mentira de Soporte: $$\etiqueta{1}[\Omega_1,\Omega_2] = \left.\frac{d}{dt}R_1(t)\Omega_2 R_1(t)^{-1}\right|_{t=0}$$ Hay una propuesta de que para cualquier Mentira elemento del grupo de $A$ y la Mentira álgebra elemento $X$ (de sus asociados Mentira álgebra), que $AXA^{-1}$ también está en la Mentira de álgebra. (Prueba de Hall: $e^{t(AXA^{-1})} = Ae^{tX}A^{-1}$ y el segundo es en la Mentira de grupo).

Esto significa que en el anterior, la curva de $$C(t) = R_1(t)\Omega_2 R_1(t)^{-1}$$ se encuentra en su totalidad en la Mentira de álgebra. Por tanto, su derivada en $t = 0$ es también en el álgebra de la Mentira (porque una Mentira álgebra es un espacio vectorial). Así que la idea errónea de la pregunta original era que $C(t)$ vive en $\mathfrak{so}(3)$ en lugar de $SO(3)$.