Processing math: 100%

7 votos

¿Mostrar que el soporte de Lie está en el álgebra de Lie?

Deje so(3) ser la Mentira de Álgebra de SO(3) RSO(3);Ω1,Ω2so(3) Ωn=ddtRn(t) en el punto de t=0. Por lo Ωn es el vector tangente de la curva de Rn(t)t=0.

Para mostrar que la Mentira de soporte de [Ω1,Ω2] es un elemento de so(3) mi profesor escribió:

\etiqueta1[Ω1,Ω2]=ddtR1(t)Ω2R1(t)1|t=0

Estoy tratando de entender, pero no puedo ver por qué esto muestra que el colector es un elemento de so(3).

Entiendo que para este tangencial del vector a en so(3), el producto R1(t)Ω2R1(t)1 tiene que ser una parametrización de la curva en SO(3).

Pero no veo por qué es una curva en SO(3).

5voto

muaddib Puntos 6459

Queremos mostrar que \etiqueta1[Ω1,Ω2]=ddtR1(t)Ω2R1(t)1|t=0

Podemos empezar a hacer esto por la informática: ddt(R1(t)Ω2R1(t)1)|t=0=[ddtR1(t)(Ω2R1(t)1)]|t=0+[(R1(t)Ω2)ddtR1(t)1]|t=0=[Ω1Ω2R1(0)1]+[R1(t)Ω2ddtR1(t)1]|t=0=[Ω1Ω2R1(0)1]+[R1(t)Ω2(R1(t)1)(ddtR1(t))R1(t)1)]|t=0=[Ω1Ω2R1(0)1][R1(t)Ω2R1(t)1(ddtR1(t))R1(t)1)]|t=0=[Ω1Ω2R1(0)1][R1(0)Ω2R1(0)1(ddtR1(t)|t=0)R1(0)1)]=[Ω1Ω2R1(0)1][R1(0)Ω2R1(0)1Ω1R1(0)1)]

Ver los Derivados de la Inversa de la Matriz para obtener detalles sobre la tercera línea de la derivación.

No hay mucho más que podemos ir sin saber más detalles acerca de R1. De hecho, creo que podría haber sido definido como Ri(t)=eΩit Pero es sólo necesario exigir Ri(0)=I. A continuación, el final de la línea anterior da Ω1Ω2Ω2Ω1.


Actualización para incluir requisitos adicionales:

La curva es en SO(3)

Esto no es siempre cierto. Una Mentira grupo es un subgrupo de GL, pero una Mentira álgebra siempre contiene la 0 matriz. Se asigna a la identidad de la Mentira de grupo. Así que si Ω2=0 en la de arriba, a continuación, la curva de C(t)=0 no radica en SO(3).

Espectáculo [Ω1,Ω2] so(3)

Esto es cierto independientemente de las consideraciones anteriores. Ω1,Ω2 son elementos de so(3) que es cerrado bajo la suma y la multiplicación (matrices de la forma XT=X).

2voto

mlanzero Puntos 21

La fórmula (1) es un poco extraño, de hecho, R1(t)Ω2R1(t)1 no está necesariamente en SO(3) (Ω2 podría tener un valor nulo determinante, por ejemplo).

Una manera de demostrar que el resultado, es considerar que (por t0):

R1(t)=I+tΩ1+t2W1+o(t2) R2(t)=I+tΩ2+t2W2+o(t2)

Entonces:

R1(t)R2(t)=I+t(Ω1+Ω2)+t2(W1+W2+Ω1Ω2)+o(t2) R2(t)R1(t)=I+t(Ω1+Ω2)+t2(W1+W2+Ω2Ω1)+o(t2)

La puede considerar L(t)=R1(t)1R2(t)1R1(t)R2(t) que es una curva en SO(3). Desde R2(t)R1(t)L(t)=R1(t)R2(t), puede desarrollar término por término de cada lado y encontrar que:

L(t)=I+t2([Ω1,Ω2])+o(t2)

Si vuelve a parametrise L con s=t2L(s)=I+s([Ω1,Ω2])+o(s), con Lo que ha encontrado a una curva en SO(3) cuya tangente es [Ω1,Ω2].

1voto

Everette Mills Puntos 106

Encontró una solución, pero no tiene nada que ver con(1):

[Ω1,Ω2]=Ω1Ω2Ω2Ω1=(ΩT1)(ΩT2)(ΩT2)(ΩT1)=ΩT1ΩT2ΩT2ΩT1=(Ω2Ω1)T(Ω1Ω2)T=(Ω2Ω1Ω1Ω2)T=[Ω2,Ω1]

1voto

muaddib Puntos 6459

Aquí hay una posibilidad de cómo el profesor estaba llegando al resultado de que [Ω1,Ω2] es un elemento de la Mentira de álgebra. Supongamos que tomamos la fórmula anterior como la definición de la Mentira de Soporte: \etiqueta1[Ω1,Ω2]=ddtR1(t)Ω2R1(t)1|t=0 Hay una propuesta de que para cualquier Mentira elemento del grupo de A y la Mentira álgebra elemento X (de sus asociados Mentira álgebra), que AXA1 también está en la Mentira de álgebra. (Prueba de Hall: et(AXA1)=AetXA1 y el segundo es en la Mentira de grupo).

Esto significa que en el anterior, la curva de C(t)=R1(t)Ω2R1(t)1 se encuentra en su totalidad en la Mentira de álgebra. Por tanto, su derivada en t=0 es también en el álgebra de la Mentira (porque una Mentira álgebra es un espacio vectorial). Así que la idea errónea de la pregunta original era que C(t) vive en so(3) en lugar de SO(3).

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X