Espacios de Banach: Uniforme Integral vs. Riemann Integral

Question

Problema

Dado un número finito de medir el espacio $\Omega$ e un espacio de Banach $E$.

Uno tiene estrictos de inclusión: $$\mathcal{L}_\mathfrak{U}(\mu)\subsetneq\mathcal{L}_\mathfrak{R}(\mu):\quad\int_\mathfrak{U}F\mathrm{d}\mu=\int_\mathfrak{R}F\mathrm{d}\mu$$ Cómo probar esto desde el principio?

Uniforme Integral

Predefinir el simple integral: $$S=\sum_kb_k\chi(A_k):\quad\int_\mathfrak{S}S\mathrm{d}\mu:=\sum_k b_k\mu(A_k)$$

Es uniformemente acotada: $$\|\int_\mathfrak{S}S\mathrm{d}\mu\|\leq\|S\|_\infty\mu(\Omega)$$ Para definir el uniforme de la integral: $$F=\lim_nS_n:\quad\int_\mathfrak{U}F\mathrm{d}\mu:=\lim_n\int_\mathfrak{S}S_n\mathrm{d}\mu$$ (Más precisamente, por la una.e. uniforme de cierre!)

Integral De Riemann

Definir la integral de Riemann: $$\int_\mathfrak{R}F\mathrm{d}\mu:=\lim_\mathcal{P}\{\sum_{a\in A\in\mathcal{P}}F(a)\mu(A)\}_\mathcal{P}$$ Finito medibles particiones: $$\mathcal{P}\subseteq\Sigma:\quad\Omega=\bigsqcup_{A\in\mathcal{P}}A\quad(\#\mathcal{P}<\infty)$$ El fin de ellos por refinamiento: $$\mathcal{P}\leq\mathcal{P}':\iff\forall A'\in\mathcal{P}'\exists A\in\mathcal{P}:\quad A\supseteq A'$$ (Que es lo habitual en el pedido.)

Answer 1

Ok, yo creo que lo tengo ahora...

El rigor

Considere el ejemplo famoso: $$F:(0,1]\to\ell^2(0,1]:t\mapsto\chi_t$$

Entonces no puede ser uniforme límite como: $$\|\chi_s-\chi_t\|=\frac{1}{\sqrt{2}}\quad(s\neq t)$$

Elija la partición: $$\mathcal{P}\geq\mathcal{P}_\varepsilon:=\left\{\left(\frac{k-1}{K(\varepsilon)},\frac{k}{K(\varepsilon)}\right]:k=1,\ldots,K(\varepsilon)\right\}$$

Así es Riemann integrable como: $$\|\sum_{a\in A\in\mathcal{P}}\chi(a)\lambda(A)\|^2=\sum_{a\in A\in\mathcal{P}}\lambda(A)^2\leq\frac{1}{K(\varepsilon)}\lambda(0,1]<\varepsilon$$ (Además, su Riemann integral desaparece.)

La inclusión

Considere la posibilidad de un límite uniforme: $$S_n\in\mathcal{S}:\quad S_n\to F$$

Elija una función simple: $$S_{N(\varepsilon)}=\sum_{k=1}^{K}b_k\chi(A_k):\quad\|F-S_{N(\varepsilon)}\|<\frac{\varepsilon}{2\mu(\Omega)}$$

Elija la partición: $$\mathcal{P}\geq\mathcal{P}_\varepsilon:=\{A_1,\ldots,A_{K}\}$$

A continuación, más finos de particiones: $$\|\sum_{a\in A\in\mathcal{P}}F(a)\mu(A)-\int_\mathfrak{U}F\mathrm{d}\mu\|\\ \leq\|\sum_{a\in A\in\mathcal{P}}F(a)\mu(A)-\sum_{un\en A\in\mathcal{P}}S_N(a)\mu(A)\mathrm{d}\mu\|+\|\int_\mathfrak{S}S_{N}\mathrm{d}\mu-\int_\mathfrak{U}F\mathrm{d}\mu\|\\ \leq\|F-S_N\|_\infty\mu(\Omega)+\|F-S_N\|_\infty\mu(\Omega)<\varepsilon$$

Especialmente, las integrales coinciden.

Complementaria

Otro posible ejemplo es dado en: Piedra del Teorema de la Integral