Sea$A \subset \mathbb{C} $ un conjunto abierto que contenga el disco unitario cerrado. Sea$f$ una función analítica de$A$ a$\mathbb{C}$ tal que$|f(z)|=1$ if$|z|=1$.
¿Sigue que$f(z) = a z^{n} \frac{cz^{m}-b}{1-cz^{m}\bar{b}} $ para algunos$a,b,c \in \mathbb{C}$ st$|c|=1$$|a|=1$,$|b|<1$ y algunos$n,m\ge 0 $?
Citando parte de mi respuesta a esta otra pregunta es mi respuesta a la suya (y Robin, básicamente, ya dijo en los comentarios):
Si una función $f$ es holomorphic en un barrio de el disco cerrado y tiene módulo 1 en el círculo, a continuación, $f$ es un finito Blaschke producto. Usted puede probar esto mediante la adopción de todos los ceros en el interior del disco cuentan de acuerdo a la multiplicidad, dividiendo por el correspondiente holomorphic automorfismos del disco que tienen los ceros, y mostrando que el resultado es constante. (Este cociente y su recíproco son analíticos y delimitada por 1 en el disco...)
Por supuesto, estoy asumiendo $A$ está conectado.
La respuesta es No. Recordar la pregunta:
Deje $A\subset\mathbb{C}$ ser un conjunto abierto que contiene a la cerrada de la unidad de disco. Deje $f$ ser una analítica de la función de $A$ $\mathbb{C}$tal que $|f(z)|=1$ si $|z|=1$.
De lo anterior se sigue que $$f(z)=az^{n}\,\frac{cz^{m}-b}{1-\bar{b}cz^{m}}$$ para algunos $a,b,c\in\mathbb{C}$ s.t. $|c|=1$, $|a|=1$, $|b|\le1$ y algunos $n,m\ge0$?
Deje $B$ el conjunto de funciones analíticas de $A$ $\mathbb{C}$tal que $|f(z)|=1$ si $|z|=1$, y deje $C$ el conjunto de las fracciones racionales de la forma indicada.
Si $f$ es un elemento de $C$$0<|b|<1$$m\ge1$,$z\mapsto f(z)^2$$B$, pero, tener múltiples cero $z_0\not=0$, no es en $C$.
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