Razona si es cierto que:

Question

Estoy cerebro pedos en esta pregunta bastante difícil, se me pide para determinar si

$$A \cup (B - C) = (A \cup B) - (A \cup C)$$

Es decir, determinar si este conjunto de igualdad es verdadera, y si no, que las inclusiones son verdaderas. Yo era capaz de mostrar que la igualdad se produce un error al mostrar '$\subset$' no se sostiene mediante un ejemplo relativamente sencillo, pero estoy teniendo problemas con el opuesto a la inclusión. Mis intentos comenzó suponiendo que yo tenía un arbitrario $x \in (A \cup B) - (A \cup C)$ y trató de trabajar en mi camino hacia abajo, pero no he tenido mucho éxito.

Cualquier ayuda o sugerencias se agradece, porque yo soy demasiado terco para pasar a la siguiente parte sin terminar esto.

Answer 1

Comenzaste bien.

Suponer que $x\in(A\cup B)\setminus(A\cup C)$. Luego, por definición$x\in A\cup B$, y$x\notin A\cup C$. Como$x\notin A\cup C$, y$A\subseteq A\cup C$, sabes que$x\notin A$. Por lo tanto, la única manera de tener$x\in A\cup B$ es tener$x\in B$. Ahora recuerde que$x\notin A\cup C$; Esto también implica que$x\notin C$, así que$x\in B\setminus C$, y por lo tanto$x\in A\cup(B\setminus C)$. Así,$(A\cup B)\setminus(A\cup C)\subseteq A\cup(B\setminus C)$.

Answer 2

Sugerencia: Piensa lo que sucede cuando ambos$B$ y$C$ están separados de$A$. ¿Hay algún elemento de$A$ en el conjunto RHS? ¿Hay algún elemento de$A$ en el LHS?