¿Cómo resolver este conjunto infinito de ecuaciones?

Question

Si puedo encontrar una solución al siguiente conjunto de ecuaciones, entonces, con un poco de suerte, debería ser capaz de derivar todo tipo de nuevos resultados ingeniosos en la mecánica estadística de no-equilibrio. Sin embargo, no estoy seguro de que exista una solución general.

Las ecuaciones son las siguientes. Hay una ecuación para cada $k \in \mathbb{Z}^\star$ (los ingtegers positivos). $$e^{-\eta_k}\sum_{j=0}^\infty e^{\eta_j-\lambda f_{kj}} = e^{\eta_k}\sum_{i=0}^\infty e^{-\eta_i-\lambda f_{ik}}.$$ Lo que quiero es una expresión para $\eta_k$ en términos de $k, \lambda$ y $\{f_{ij}\}$ por lo que se trata de un número infinito de ecuaciones en un número infinito de incógnitas, con un número infinito de parámetros. (También podría verse como una única ecuación funcional).

Las cifras $f_{ij}$ son parámetros reales arbitrarios. Podemos suponer que están acotados por debajo (es decir, existe $g$ tal que para cada $i$ y cada $j$ , $f_{ij}>g$ ) pero no necesariamente acotado por encima. $\lambda$ también es un parámetro real; si es necesario, podemos suponer que es lo suficientemente grande como para que las sumas infinitas en las ecuaciones converjan.

De forma equivalente, si dejamos que $x_k = e^{-\eta_k}$ y $A_{ij}=e^{-\lambda f_{ij}}>0$ entonces estamos tratando de encontrar soluciones positivas (para $\{x_k\}$ ) de $$\sum_{j=0}^\infty A_{kj} \frac{x_k}{x_j} = \sum_{i=0}^\infty A_{ik} \frac{x_i}{x_k}.$$ He intentado todo lo que se me ocurre para resolverlo, pero no soy muy matemático y no he llegado muy lejos. ¿Alguien más puede ver cómo hacerlo?

Answer 1

Este es un enfoque que podría funcionar. En primer lugar, es obvio que si $\{x_i\}$ es una solución del sistema anterior, entonces también lo es $\{kx_i\}$ para todos $k>0$ .

Por lo tanto, defina $$\alpha_{ij} = \frac{x_i}{x_j} \quad \forall i\ne j$$ Ahora puedes reformular tu problema en un sistema (infinito) de ecuaciones lineales en $\alpha_{ij}$ . Según esta consulta en Math.SO este sistema tendrá una solución única siempre que el sistema sea bien portado . Ahora, se puede comprobar si la solución única satisface $\alpha_{ij}\alpha_{ji} = 1$ . Si es así, tienes una solución. De lo contrario, no habrá solución, ya que la existencia de otra solución violará el requisito de unicidad.

No sé cuál es el método para encontrar la solución única, ya que no tengo acceso a esos libros, pero hay suficientes referencias a la literatura pertinente en el hilo para encontrar las soluciones exactas y truncadas.

Espero que te sirva de ayuda.

Answer 2

No iba a publicar esto, pero nadie parece tener ninguna idea. Tenga en cuenta que su ecuación es equivalente a:

$$x_k^2= \frac{\sum_{i=0}^\infty A_{ik} x_i}{\sum_{j=0}^\infty A_{kj}\frac{1}{x_j}}.$$

Intenta definir la función que toma en una secuencia $\{y_k\}$ y pone una secuencia $\{x_k\}$ definido por $$x_k= \sqrt{\frac{\sum_{i=0}^\infty A_{ik} y_i}{\sum_{j=0}^\infty A_{kj}\frac{1}{y_j}}}.$$

La solución que buscas es un punto fijo de esta cartografía. Si puedes encontrar un espacio de funciones adecuado, es posible que puedas mostrar su mapa de contratación, pero parece difícil. Si te interesan las soluciones numéricas, podrías intentar iterar este mapa en una subsecuencia finita grande.

Answer 3

A menudo me encuentro respondiendo a mis propias preguntas; esta vez es una respuesta negativa.

La pregunta, tal y como la escribí, es equivalente a un problema conocido llamado "escalado de matrices", para el que existen algoritmos numéricos eficientes (porque se utiliza como un importante paso de preprocesamiento antes de resolver numéricamente los problemas propios), pero no una solución analítica, al menos no en el caso general.

El problema de escalado de matrices es el siguiente: dada una matriz $A$ encontrar una matriz diagonal $D$ tal que las sumas de las filas de $D^{-1}A D$ son iguales a las sumas de las columnas correspondientes. Si los elementos diagonales de $D$ son $\{x_i\}$ entonces ampliando esto se obtiene la segunda ecuación de mi post.

El algoritmo más simple para resolver esto numéricamente es simplemente escalar un par de filas/columnas a la vez, iterando sobre toda la matriz, y luego repetir hasta que converja. Esto probablemente será suficiente para mis propósitos, aunque si no es así creo que puedo encontrar algoritmos más sofisticados implementados como parte de LAPACK.