Recordemos que
$$
\pequeño
U=\frac{\mathbb{k} \{X,Y,H\}}{([X,Y]-H [H,X] 2X [H,Y]+2Y)}\\
\pequeño
{
U_1'=\frac{\mathbb{k}\{E,F,L,K,K^{-1}\}}{\begin{pmatrix}KK^{-1}-1& K^{-1}K-1& KE-EK& KF-FK\\ [E,F]-L& K^2-1& [L,E]-EK-K^{-1}E& [L,F]+FK+K^{-1}F\end{pmatrix}}
}
$$
Ahora vamos a proceder a la construcción de isomorphisms.
Primera isomorfismo Nota que
$$
\pequeño
U[K]=\frac{\mathbb{k} \{X,Y,H,K\}}{\begin{pmatrix}[X,Y]-H& [H,X]-2X& [H,Y]+2Y\\XK-KX& YK-KY& HK-KY\end{pmatrix}}
$$
$$
\pequeño
\frac{U[K]}{(K^2-1)}=\frac{\mathbb{k} \{X,Y,H,K\}}{\begin{pmatrix}[X,Y]-H& [H,X]-2X& [H,Y]+2Y\\XK-KX& YK-KY& HK-KH\\ &K^2-1&\end{pmatrix}}
$$
Denotar ideales
$$
\pequeño
\mathcal{\mathcal{I}}=\begin{pmatrix}KK^{-1}-1& K^{-1}K-1& KE-EK& KF-FK\\ [E,F]-L& K^2-1& [L,E]-EK-K^{-1}E& [L,F]+FK+K^{-1}F\end{pmatrix}\subconjunto\mathbb{k}\{E,F,L,K,K^{-1}\}\\
\pequeño
\mathcal{J}=\begin{pmatrix}[X,Y]-H& [H,X]-2X& [H,Y]+2Y\\XK-KX& YK-KY& HK-KH\\ &K^2-1&\end{pmatrix}\subconjunto\mathbb{k}\{X,Y,H,K\}
$$
Considere la posibilidad de homomorphisms de álgebras de
$$
\pequeño
\Phi:\mathbb{k}\{E,F,L,K,K^{-1}\}\\frac{U[K]}{(K^2-1)}\\
\Psi:\mathbb{k}\{X,Y,H,K\}\a U_1'
$$
definido por
$$
\pequeño
\Phi(E)=XK+\mathcal{J},\;\Phi(F)=Y+\mathcal{J},\;\Phi(L)=HK+\mathcal{J},\;\Phi(K)=K+\mathcal{J},\;\Phi(K^{-1})=K+\mathcal{J}\\
\pequeño
\Psi(X)=EK^{-1}+\mathcal{\mathcal{I}},\;\Psi(Y)=F+\mathcal{\mathcal{I}},\;\Psi(H)=LK^{-1}+\mathcal{\mathcal{I}},\;\Psi(K)=K+\mathcal{\mathcal{I}}
$$
Vamos a mostrar que $\Phi(\mathcal{\mathcal{I}})\subset 0+\mathcal{J}$$\Psi(\mathcal{J})\subset 0+\mathcal{\mathcal{I}}$. Desde
$$
\pequeño
{
\begin{align}
\Phi(KK^{-1}-1)&=KK-1+\mathcal{J}=(K^2-1)+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\Phi(K^{-1}K-1)&=KK-1+\mathcal{J}=(K^2-1)+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\Phi(KE-EK)&=KXK-XKK+\mathcal{J}=(KX-XK)K+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\Phi(KF-FK)&=KY-YK+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\Phi([E,F]-L)&=XKY-YXK-HK+\mathcal{J}=XYK-YXK-HK+\mathcal{J}\\
&=([X,Y]-H)K+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\Phi(K^2-1)&=K^2-1+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\Phi([L,E]-EK-K^{-1}E)&=HKXK-XKHK-XKK-KXK+\mathcal{J}\\
&=HXK^2-XHK^2-XK^2-XK^2+\mathcal{J}=([H,X]-2X)K^2+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\Phi([L,F]+FK+K^{-1}F)&=HKY-YHK+YK+KY+\mathcal{J}\\
&=HYK-YHK+YK+YK+\mathcal{J}=([H,Y]+2Y)K+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\end{align}
}
$$
a continuación, todas las relaciones que forman $\mathcal{\mathcal{I}}$ se asignan a $0+\mathcal{J}$ bajo $\Phi$. Por lo tanto $\Phi(\mathcal{\mathcal{I}})\subset 0+\mathcal{J}$. Desde
$$
\pequeño{
\begin{align}
\Psi(XK-KX)&=EK^{-1}K-KEK^{-1}+\mathcal{\mathcal{I}}=E-E+\mathcal{\mathcal{I}}=0+\mathcal{\mathcal{I}}\\
\Psi (YK-KY)&=FK-KF+\mathcal{\mathcal{I}}=0+\mathcal{\mathcal{I}}\\
\Psi (HK-KH)&=LK^{-1}K-KLK^{-1}+\mathcal{\mathcal{I}}=L-L+\mathcal{I}=0+\mathcal{I}\\
\Psi(K^2-1)&=K^2-1+\mathcal{I}=0+\mathcal{I}\\
\Psi([X,Y]-H)&=EK^{-1}F-FEK^{-1}-LK^{-1}+\mathcal{I}\\
&=EFK-FEK-LK+\mathcal{I}=([E,F]-L)K+\mathcal{I}=0+\mathcal{I}\\
\Psi([H,X]-2X)&=LK^{-1}EK^{-1}-EK^{-1}LK^{-1}-2EK^{-1}+\mathcal{I}\\
&=LKEK-EKLK-2EK=LEKK-ELKK-EK-KE+\mathcal{I}\\
&=[E,L]K^2-EK-K^{-1}E+\mathcal{I}=[E,L]-EK-K^{-1}E=0+\mathcal{I}\\
\Psi([H,Y]+2Y)&=LK^{-1}F-FLK^{-1}+2F+\mathcal{I}\\
&=LKF-FLK+2FK^{-1}K+\mathcal{I}=([L,F]+2FK^{-1})K+\mathcal{I}\\
&=([L,F]+FK^{-1}+FK^{-1})K=0+\mathcal{J}\\
\end{align}
}
$$
a continuación, todas las relaciones que forman $\mathcal{J}$ se asignan a $0+\mathcal{I}$ bajo $\Psi$. Por lo tanto $\Psi(\mathcal{J})\subset 0+\mathcal{I}$ Dado este inclusiones se puede decir que no existe bien definidos homomorphisms de álgebras de
$$
\pequeño{
\varphi:U_1'\a\frac{U[K]}{(K^2-1)}\qquad\psi:\frac{U[K]}{(K^2-1)}\a U_1'
}
$$
bien definida por
$$
\pequeño
{
\varphi(E+\mathcal{I})=XK+\mathcal{J},\;\varphi(F+\mathcal{I})=Y+\mathcal{J},\;\varphi(L+\mathcal{I})=HK+\mathcal{J}\\
\varphi(K+\mathcal{I})=K+\mathcal{J},\;\varphi(K^{-1}+\mathcal{I})=K+\mathcal{J}\\
\psi(X+\mathcal{J})=EK^{-1}+\mathcal{I},\;\psi(Y+\mathcal{J})=F+\mathcal{I},\;\psi(H+\mathcal{J})=LK^{-1}+\mathcal{I},\;\psi(K+\mathcal{J})=K+\mathcal{I}
}
$$
Tenga en cuenta que
$$
\pequeño{
(\varphi\circ\psi)(X+\mathcal{J})=X+\mathcal{J},\qquad
(\varphi\circ\psi)(Y+\mathcal{J})=Y+\mathcal{J},\\
(\varphi\circ\psi)(H+\mathcal{J})=H+\mathcal{J},\qquad
(\varphi\circ\psi)(K+\mathcal{J})=K+\mathcal{J}\\
(\psi\circ\varphi)(E+\mathcal{I})=E+\mathcal{I},\qquad
(\psi\circ\varphi)(F+\mathcal{I})=F+\mathcal{I},\qquad
(\psi\circ\varphi)(L+\mathcal{I})=L+\mathcal{I},\qquad
(\psi\circ\varphi)(K+\mathcal{I})=K+\mathcal{I},\qquad
(\psi\circ\varphi)(K^{-1}+\mathcal{I})=K^{-1}+\mathcal{I}
}
$$
Desde $\varphi$ $\psi$ son los inversos de cada uno de los generadores, entonces el inverso de homomorphisms el uno al otro. Ahora podemos decir que el isomorfismo se construye.
Segundo isomorfismo Nota que
$$
\pequeño
{
\frac{U_1'}{(K-1)}=\frac{\mathbb{k}\{E,F,L,K,K^{-1}\}}{\begin{pmatrix}KK^{-1}-1& K^{-1}K-1& KE-EK& KF-FK\\ [E,F]-L& K^2-1& [L,E]-EK-K^{-1}E& [L,F]+FK+K^{-1}F\\ &K - 1&\end{pmatrix}}
}
$$
Denotar ideales
$$
\pequeño
\mathcal{I}=\begin{pmatrix}KK^{-1}-1& K^{-1}K-1& KE-EK& KF-FK\\ [E,F]-L& K^2-1& [L,E]-EK-K^{-1}E& [L,F]+FK+K^{-1}F\\ &K - 1&\end{pmatrix}\subconjunto\mathbb{k}\{E,F,L,K,K^{-1}\}\\
\pequeño
\mathcal{J}=([X,Y]-H [H,X] 2X [H,Y]+2Y)\subconjunto\mathbb{k}\{X,Y,H\}
$$
Considere la posibilidad de homomorphisms
$$
\pequeño
\Phi:\mathbb{k}\{E,F,L,K,K^{-1}\}\U\\
\Psi:\mathbb{k}\{X,Y,H\}\\frac{U_1'}{(K-1)}
$$
definido por
$$
\pequeño
\Phi(E)=X+\mathcal{J}\;\Phi(F)=Y+\mathcal{J},\;\Phi(L)=H+\mathcal{J},\;\Phi(K)=1+\mathcal{J},\;\Phi(K^{-1})=1+\mathcal{J}\\
\pequeño
\Psi(X)=E+\mathcal{I},\;\Psi(Y)=F+\mathcal{I},\;\Psi(H)=L+\mathcal{I}
$$
Vamos a mostrar que $\Phi(\mathcal{I})\subset 0+\mathcal{J}$$\Psi(\mathcal{J})\subset 0+\mathcal{I}$. Desde
$$
\pequeño
{
\begin{align}
\Phi(KK^{-1}-1)&=1\cdot 1-1+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\Phi(K^{-1}K-1)&=1\cdot 1-1+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\Phi(KE-EK)&=1X-X1+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\Phi(KF-FK)&=1Y-Y1+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\Phi([E,F]-L)&=XY-YX-H+\mathcal{J}=([X,Y]-H)+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\Phi(K^2-1)&=1^2-1+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\Phi([L,E]-EK-K^{-1}E)&=HX-XH-X1-1X+\mathcal{J}=([H,X]-2X)+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\Phi([L,F]+FK+K^{-1}F)&=HY-YH+Y1+1Y+\mathcal{J}=([H,Y]+2Y)+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\end{align}
}
$$
a continuación, todas las relaciones que forman $\mathcal{I}$ se asignan a $0+\mathcal{J}$ bajo $\Phi$. Por lo tanto $\Phi(\mathcal{I})\subset 0+\mathcal{J}$. Desde
$$
\pequeño{
\begin{align}
\Psi([X,Y]-H)&=EF-FE-L+\mathcal{I}=([E,F]-L)+\mathcal{I}=0+\mathcal{I}\\
\Psi([H,X]-2X)&=LE-EL-2E+\mathcal{I}=[E,L]-E1-1E+\mathcal{I}\\
&=[E,L]-EK-K^{-1}E+\mathcal{I}=0+\mathcal{I}\\
\Psi([H,Y]+2Y)&=LF-FL+2F+\mathcal{I}=([L,F]+F1+1F)+\mathcal{I}\\
&=([L,F]+FK+K^{-1}F)+\mathcal{I}=0+\mathcal{J}\\
\end{align}
}
$$
a continuación, todas las relaciones que forman $\mathcal{J}$ se asignan a $0+\mathcal{\mathcal{I}}$ bajo $\Psi$. Por lo tanto $\Psi(\mathcal{J})\subset 0+\mathcal{\mathcal{I}}$ Dado este inclusiones se puede decir que no existe bien definidos homomorphisms de álgebras de
$$
\pequeño{
\varphi:U\a\frac{U_1'}{(K-1)}\qquad\psi:\frac{U_1'}{(K-1)}\a U
}
$$
bien definida por
$$
\pequeño
{
\varphi(E+\mathcal{I})=X+\mathcal{J}\;\varphi(F+\mathcal{I})=Y+\mathcal{J},\;\varphi(L+\mathcal{I})=H+\mathcal{J}\\
\varphi(K+\mathcal{I})=1+\mathcal{J},\;\varphi(K^{-1}+\mathcal{I})=1+\mathcal{J}\\
\psi(X+\mathcal{J})=E+\mathcal{I},\;\psi(Y+\mathcal{J})=F+\mathcal{I},\;\psi(H+\mathcal{J})=L+\mathcal{I}
}
$$
Tenga en cuenta que
$$
\pequeño{
(\varphi\circ\psi)(X+\mathcal{J})=X+\mathcal{J}\qquad
(\varphi\circ\psi)(Y+\mathcal{J})=Y+\mathcal{J}\qquad
(\varphi\circ\psi)(H+\mathcal{J})=H+\mathcal{J}\\
(\psi\circ\varphi)(E+\mathcal{\mathcal{I}})=E+\mathcal{\mathcal{I}}\qquad
(\psi\circ\varphi)(F+\mathcal{\mathcal{I}})=F+\mathcal{\mathcal{I}}\qquad
(\psi\circ\varphi)(L+\mathcal{\mathcal{I}})=L+\mathcal{\mathcal{I}}\\
(\psi\circ\varphi)(K+\mathcal{\mathcal{I}})=K+\mathcal{\mathcal{I}}\qquad
(\psi\circ\varphi)(K^{-1}+\mathcal{\mathcal{I}})=K^{-1}+\mathcal{\mathcal{I}}\\
}
$$
Desde $\varphi$ $\psi$ son inversos el uno del otro en los generadores, entonces el inverso de homomorphisms de cada uno de los otros. Ahora podemos decir que el isomorfismo se construye.
