Grupos cuánticos: probar$U_1'\cong U[K]/(K^2-1)$ y$U\cong U_1'/(K-1)$

Question

Con respecto a este teorema, que es en Kassel pg 126, tengo dos preguntas. He escrito en el correspondiente material de referencia.

1) ¿Cómo $$U_1'\cong U[K]/(K^2-1)$$ imply $$U\cong U_1'/(K-1)$$ ? Kassel parece dar a entender que es suficiente para demostrar la primera isomorfismo.

2) ¿Cómo llegamos a la conclusión de que "aquí Tenemos un isomorfismo de $U_1'$ $U[K]/(K^2-1)$mediante el envío de $E$ a $XK$, $F$ a $Y$, $K$ a $K$, e $L$$HK$."

Las más sinceras gracias por la ayuda!

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Para probar: Si $q=1$, tenemos $$U_1'\cong U[K]/(K^2-1)$$ and $$U\cong U_1'/(K-1)$$

Kassel Prueba (parafraseado): Primero vamos a probar el primer isomorfismo. Ahora, $U_1'$ es generado por $E$,$F$,$K$,$K^{-1}$,$L$ y Relaciones ($\ref{or20prop.2.1}$--$\ref{or20prop.2.4}$) en el que $q$ ha sido sustituido por $1$, es decir,

$KK^{-1}=K^{-1}K=1$ (2.5)

$KEK^{-1}=E,\ \ \ KFK^{-1}=F$ (2.6)

$[E,F]=L,\ \ \ K-K^{-1}=0$ (2.7)

$[L,E]=(EK+K^{-1}E$$[L,F]=-(FK+K^{-1}F)$ (2.8)

Relación de 2,5 implica que $K$ viajes con $K^{-1}$. Relación 2.6 se puede reescribir como $KE=EK$, $KF=FK$, por lo tanto $K$ viajes con $E$, $F$. Por lo tanto, $K$ es central.

La segunda relación en (2.7) da $K=K^{-1}$, por lo tanto $K^2=1$. Por lo tanto, podemos reescribir las Relaciones (2.8) como

$[L,E]=(EK+K^{-1}E)$ $=K^2(EK+K^{-1}E)\\$ $=EK+KE\\$ $=2EK$

$[L,F]=-(FK+K^{-1}F)\\$ $=-K^2(FK+K^{-1}F)\\$ $=-(FK+KF)\\$ $=-2FK$

A continuación, obtener un isomorfismo de $U_1'$ $U[K]/(K^2-1)$mediante el envío de $E$ a $XK$, $F$ a $Y$, $K$ a $K$, e $L$$HK$.

Answer 1

Recordemos que $$\pequeño U=\frac{\mathbb{k} \{X,Y,H\}}{([X,Y]-H [H,X] 2X [H,Y]+2Y)}\\ \pequeño { U_1'=\frac{\mathbb{k}\{E,F,L,K,K^{-1}\}}{\begin{pmatrix}KK^{-1}-1& K^{-1}K-1& KE-EK& KF-FK\\ [E,F]-L& K^2-1& [L,E]-EK-K^{-1}E& [L,F]+FK+K^{-1}F\end{pmatrix}} }$$ Ahora vamos a proceder a la construcción de isomorphisms.

Primera isomorfismo Nota que $$\pequeño U[K]=\frac{\mathbb{k} \{X,Y,H,K\}}{\begin{pmatrix}[X,Y]-H& [H,X]-2X& [H,Y]+2Y\\XK-KX& YK-KY& HK-KY\end{pmatrix}}$$ $$\pequeño \frac{U[K]}{(K^2-1)}=\frac{\mathbb{k} \{X,Y,H,K\}}{\begin{pmatrix}[X,Y]-H& [H,X]-2X& [H,Y]+2Y\\XK-KX& YK-KY& HK-KH\\ &K^2-1&\end{pmatrix}}$$ Denotar ideales $$\pequeño \mathcal{\mathcal{I}}=\begin{pmatrix}KK^{-1}-1& K^{-1}K-1& KE-EK& KF-FK\\ [E,F]-L& K^2-1& [L,E]-EK-K^{-1}E& [L,F]+FK+K^{-1}F\end{pmatrix}\subconjunto\mathbb{k}\{E,F,L,K,K^{-1}\}\\ \pequeño \mathcal{J}=\begin{pmatrix}[X,Y]-H& [H,X]-2X& [H,Y]+2Y\\XK-KX& YK-KY& HK-KH\\ &K^2-1&\end{pmatrix}\subconjunto\mathbb{k}\{X,Y,H,K\}$$ Considere la posibilidad de homomorphisms de álgebras de $$\pequeño \Phi:\mathbb{k}\{E,F,L,K,K^{-1}\}\\frac{U[K]}{(K^2-1)}\\ \Psi:\mathbb{k}\{X,Y,H,K\}\a U_1'$$ definido por $$\pequeño \Phi(E)=XK+\mathcal{J},\;\Phi(F)=Y+\mathcal{J},\;\Phi(L)=HK+\mathcal{J},\;\Phi(K)=K+\mathcal{J},\;\Phi(K^{-1})=K+\mathcal{J}\\ \pequeño \Psi(X)=EK^{-1}+\mathcal{\mathcal{I}},\;\Psi(Y)=F+\mathcal{\mathcal{I}},\;\Psi(H)=LK^{-1}+\mathcal{\mathcal{I}},\;\Psi(K)=K+\mathcal{\mathcal{I}}$$ Vamos a mostrar que $\Phi(\mathcal{\mathcal{I}})\subset 0+\mathcal{J}$$\Psi(\mathcal{J})\subset 0+\mathcal{\mathcal{I}}$. Desde $$\pequeño { \begin{align} \Phi(KK^{-1}-1)&=KK-1+\mathcal{J}=(K^2-1)+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \Phi(K^{-1}K-1)&=KK-1+\mathcal{J}=(K^2-1)+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \Phi(KE-EK)&=KXK-XKK+\mathcal{J}=(KX-XK)K+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \Phi(KF-FK)&=KY-YK+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \Phi([E,F]-L)&=XKY-YXK-HK+\mathcal{J}=XYK-YXK-HK+\mathcal{J}\\ &=([X,Y]-H)K+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \Phi(K^2-1)&=K^2-1+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \Phi([L,E]-EK-K^{-1}E)&=HKXK-XKHK-XKK-KXK+\mathcal{J}\\ &=HXK^2-XHK^2-XK^2-XK^2+\mathcal{J}=([H,X]-2X)K^2+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \Phi([L,F]+FK+K^{-1}F)&=HKY-YHK+YK+KY+\mathcal{J}\\ &=HYK-YHK+YK+YK+\mathcal{J}=([H,Y]+2Y)K+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \end{align} }$$ a continuación, todas las relaciones que forman $\mathcal{\mathcal{I}}$ se asignan a $0+\mathcal{J}$ bajo $\Phi$. Por lo tanto $\Phi(\mathcal{\mathcal{I}})\subset 0+\mathcal{J}$. Desde $$\pequeño{ \begin{align} \Psi(XK-KX)&=EK^{-1}K-KEK^{-1}+\mathcal{\mathcal{I}}=E-E+\mathcal{\mathcal{I}}=0+\mathcal{\mathcal{I}}\\ \Psi (YK-KY)&=FK-KF+\mathcal{\mathcal{I}}=0+\mathcal{\mathcal{I}}\\ \Psi (HK-KH)&=LK^{-1}K-KLK^{-1}+\mathcal{\mathcal{I}}=L-L+\mathcal{I}=0+\mathcal{I}\\ \Psi(K^2-1)&=K^2-1+\mathcal{I}=0+\mathcal{I}\\ \Psi([X,Y]-H)&=EK^{-1}F-FEK^{-1}-LK^{-1}+\mathcal{I}\\ &=EFK-FEK-LK+\mathcal{I}=([E,F]-L)K+\mathcal{I}=0+\mathcal{I}\\ \Psi([H,X]-2X)&=LK^{-1}EK^{-1}-EK^{-1}LK^{-1}-2EK^{-1}+\mathcal{I}\\ &=LKEK-EKLK-2EK=LEKK-ELKK-EK-KE+\mathcal{I}\\ &=[E,L]K^2-EK-K^{-1}E+\mathcal{I}=[E,L]-EK-K^{-1}E=0+\mathcal{I}\\ \Psi([H,Y]+2Y)&=LK^{-1}F-FLK^{-1}+2F+\mathcal{I}\\ &=LKF-FLK+2FK^{-1}K+\mathcal{I}=([L,F]+2FK^{-1})K+\mathcal{I}\\ &=([L,F]+FK^{-1}+FK^{-1})K=0+\mathcal{J}\\ \end{align} }$$ a continuación, todas las relaciones que forman $\mathcal{J}$ se asignan a $0+\mathcal{I}$ bajo $\Psi$. Por lo tanto $\Psi(\mathcal{J})\subset 0+\mathcal{I}$ Dado este inclusiones se puede decir que no existe bien definidos homomorphisms de álgebras de $$\pequeño{ \varphi:U_1'\a\frac{U[K]}{(K^2-1)}\qquad\psi:\frac{U[K]}{(K^2-1)}\a U_1' }$$ bien definida por $$\pequeño { \varphi(E+\mathcal{I})=XK+\mathcal{J},\;\varphi(F+\mathcal{I})=Y+\mathcal{J},\;\varphi(L+\mathcal{I})=HK+\mathcal{J}\\ \varphi(K+\mathcal{I})=K+\mathcal{J},\;\varphi(K^{-1}+\mathcal{I})=K+\mathcal{J}\\ \psi(X+\mathcal{J})=EK^{-1}+\mathcal{I},\;\psi(Y+\mathcal{J})=F+\mathcal{I},\;\psi(H+\mathcal{J})=LK^{-1}+\mathcal{I},\;\psi(K+\mathcal{J})=K+\mathcal{I} }$$ Tenga en cuenta que $$\pequeño{ (\varphi\circ\psi)(X+\mathcal{J})=X+\mathcal{J},\qquad (\varphi\circ\psi)(Y+\mathcal{J})=Y+\mathcal{J},\\ (\varphi\circ\psi)(H+\mathcal{J})=H+\mathcal{J},\qquad (\varphi\circ\psi)(K+\mathcal{J})=K+\mathcal{J}\\ (\psi\circ\varphi)(E+\mathcal{I})=E+\mathcal{I},\qquad (\psi\circ\varphi)(F+\mathcal{I})=F+\mathcal{I},\qquad (\psi\circ\varphi)(L+\mathcal{I})=L+\mathcal{I},\qquad (\psi\circ\varphi)(K+\mathcal{I})=K+\mathcal{I},\qquad (\psi\circ\varphi)(K^{-1}+\mathcal{I})=K^{-1}+\mathcal{I} }$$ Desde $\varphi$ $\psi$ son los inversos de cada uno de los generadores, entonces el inverso de homomorphisms el uno al otro. Ahora podemos decir que el isomorfismo se construye.

Segundo isomorfismo Nota que $$\pequeño { \frac{U_1'}{(K-1)}=\frac{\mathbb{k}\{E,F,L,K,K^{-1}\}}{\begin{pmatrix}KK^{-1}-1& K^{-1}K-1& KE-EK& KF-FK\\ [E,F]-L& K^2-1& [L,E]-EK-K^{-1}E& [L,F]+FK+K^{-1}F\\ &K - 1&\end{pmatrix}} }$$ Denotar ideales $$\pequeño \mathcal{I}=\begin{pmatrix}KK^{-1}-1& K^{-1}K-1& KE-EK& KF-FK\\ [E,F]-L& K^2-1& [L,E]-EK-K^{-1}E& [L,F]+FK+K^{-1}F\\ &K - 1&\end{pmatrix}\subconjunto\mathbb{k}\{E,F,L,K,K^{-1}\}\\ \pequeño \mathcal{J}=([X,Y]-H [H,X] 2X [H,Y]+2Y)\subconjunto\mathbb{k}\{X,Y,H\}$$ Considere la posibilidad de homomorphisms $$\pequeño \Phi:\mathbb{k}\{E,F,L,K,K^{-1}\}\U\\ \Psi:\mathbb{k}\{X,Y,H\}\\frac{U_1'}{(K-1)}$$ definido por $$\pequeño \Phi(E)=X+\mathcal{J}\;\Phi(F)=Y+\mathcal{J},\;\Phi(L)=H+\mathcal{J},\;\Phi(K)=1+\mathcal{J},\;\Phi(K^{-1})=1+\mathcal{J}\\ \pequeño \Psi(X)=E+\mathcal{I},\;\Psi(Y)=F+\mathcal{I},\;\Psi(H)=L+\mathcal{I}$$ Vamos a mostrar que $\Phi(\mathcal{I})\subset 0+\mathcal{J}$$\Psi(\mathcal{J})\subset 0+\mathcal{I}$. Desde $$\pequeño { \begin{align} \Phi(KK^{-1}-1)&=1\cdot 1-1+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \Phi(K^{-1}K-1)&=1\cdot 1-1+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \Phi(KE-EK)&=1X-X1+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \Phi(KF-FK)&=1Y-Y1+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \Phi([E,F]-L)&=XY-YX-H+\mathcal{J}=([X,Y]-H)+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \Phi(K^2-1)&=1^2-1+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \Phi([L,E]-EK-K^{-1}E)&=HX-XH-X1-1X+\mathcal{J}=([H,X]-2X)+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \Phi([L,F]+FK+K^{-1}F)&=HY-YH+Y1+1Y+\mathcal{J}=([H,Y]+2Y)+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \end{align} }$$ a continuación, todas las relaciones que forman $\mathcal{I}$ se asignan a $0+\mathcal{J}$ bajo $\Phi$. Por lo tanto $\Phi(\mathcal{I})\subset 0+\mathcal{J}$. Desde $$\pequeño{ \begin{align} \Psi([X,Y]-H)&=EF-FE-L+\mathcal{I}=([E,F]-L)+\mathcal{I}=0+\mathcal{I}\\ \Psi([H,X]-2X)&=LE-EL-2E+\mathcal{I}=[E,L]-E1-1E+\mathcal{I}\\ &=[E,L]-EK-K^{-1}E+\mathcal{I}=0+\mathcal{I}\\ \Psi([H,Y]+2Y)&=LF-FL+2F+\mathcal{I}=([L,F]+F1+1F)+\mathcal{I}\\ &=([L,F]+FK+K^{-1}F)+\mathcal{I}=0+\mathcal{J}\\ \end{align} }$$ a continuación, todas las relaciones que forman $\mathcal{J}$ se asignan a $0+\mathcal{\mathcal{I}}$ bajo $\Psi$. Por lo tanto $\Psi(\mathcal{J})\subset 0+\mathcal{\mathcal{I}}$ Dado este inclusiones se puede decir que no existe bien definidos homomorphisms de álgebras de $$\pequeño{ \varphi:U\a\frac{U_1'}{(K-1)}\qquad\psi:\frac{U_1'}{(K-1)}\a U }$$ bien definida por $$\pequeño { \varphi(E+\mathcal{I})=X+\mathcal{J}\;\varphi(F+\mathcal{I})=Y+\mathcal{J},\;\varphi(L+\mathcal{I})=H+\mathcal{J}\\ \varphi(K+\mathcal{I})=1+\mathcal{J},\;\varphi(K^{-1}+\mathcal{I})=1+\mathcal{J}\\ \psi(X+\mathcal{J})=E+\mathcal{I},\;\psi(Y+\mathcal{J})=F+\mathcal{I},\;\psi(H+\mathcal{J})=L+\mathcal{I} }$$ Tenga en cuenta que $$\pequeño{ (\varphi\circ\psi)(X+\mathcal{J})=X+\mathcal{J}\qquad (\varphi\circ\psi)(Y+\mathcal{J})=Y+\mathcal{J}\qquad (\varphi\circ\psi)(H+\mathcal{J})=H+\mathcal{J}\\ (\psi\circ\varphi)(E+\mathcal{\mathcal{I}})=E+\mathcal{\mathcal{I}}\qquad (\psi\circ\varphi)(F+\mathcal{\mathcal{I}})=F+\mathcal{\mathcal{I}}\qquad (\psi\circ\varphi)(L+\mathcal{\mathcal{I}})=L+\mathcal{\mathcal{I}}\\ (\psi\circ\varphi)(K+\mathcal{\mathcal{I}})=K+\mathcal{\mathcal{I}}\qquad (\psi\circ\varphi)(K^{-1}+\mathcal{\mathcal{I}})=K^{-1}+\mathcal{\mathcal{I}}\\ }$$ Desde $\varphi$ $\psi$ son inversos el uno del otro en los generadores, entonces el inverso de homomorphisms de cada uno de los otros. Ahora podemos decir que el isomorfismo se construye.