Recordemos que
\pequeño
U=\frac{\mathbb{k} \{X,Y,H\}}{([X,Y]-H [H,X] 2X [H,Y]+2Y)}\\
\pequeño
{
U_1'=\frac{\mathbb{k}\{E,F,L,K,K^{-1}\}}{\begin{pmatrix}KK^{-1}-1& K^{-1}K-1& KE-EK& KF-FK\\ [E,F]-L& K^2-1& [L,E]-EK-K^{-1}E& [L,F]+FK+K^{-1}F\end{pmatrix}}
}
Ahora vamos a proceder a la construcción de isomorphisms.
Primera isomorfismo Nota que
\pequeño
U[K]=\frac{\mathbb{k} \{X,Y,H,K\}}{\begin{pmatrix}[X,Y]-H& [H,X]-2X& [H,Y]+2Y\\XK-KX& YK-KY& HK-KY\end{pmatrix}}
\pequeño
\frac{U[K]}{(K^2-1)}=\frac{\mathbb{k} \{X,Y,H,K\}}{\begin{pmatrix}[X,Y]-H& [H,X]-2X& [H,Y]+2Y\\XK-KX& YK-KY& HK-KH\\ &K^2-1&\end{pmatrix}}
Denotar ideales
\pequeño
\mathcal{\mathcal{I}}=\begin{pmatrix}KK^{-1}-1& K^{-1}K-1& KE-EK& KF-FK\\ [E,F]-L& K^2-1& [L,E]-EK-K^{-1}E& [L,F]+FK+K^{-1}F\end{pmatrix}\subconjunto\mathbb{k}\{E,F,L,K,K^{-1}\}\\
\pequeño
\mathcal{J}=\begin{pmatrix}[X,Y]-H& [H,X]-2X& [H,Y]+2Y\\XK-KX& YK-KY& HK-KH\\ &K^2-1&\end{pmatrix}\subconjunto\mathbb{k}\{X,Y,H,K\}
Considere la posibilidad de homomorphisms de álgebras de
\pequeño
\Phi:\mathbb{k}\{E,F,L,K,K^{-1}\}\\frac{U[K]}{(K^2-1)}\\
\Psi:\mathbb{k}\{X,Y,H,K\}\a U_1'
definido por
\pequeño
\Phi(E)=XK+\mathcal{J},\;\Phi(F)=Y+\mathcal{J},\;\Phi(L)=HK+\mathcal{J},\;\Phi(K)=K+\mathcal{J},\;\Phi(K^{-1})=K+\mathcal{J}\\
\pequeño
\Psi(X)=EK^{-1}+\mathcal{\mathcal{I}},\;\Psi(Y)=F+\mathcal{\mathcal{I}},\;\Psi(H)=LK^{-1}+\mathcal{\mathcal{I}},\;\Psi(K)=K+\mathcal{\mathcal{I}}
Vamos a mostrar que \Phi(\mathcal{\mathcal{I}})\subset 0+\mathcal{J}\Psi(\mathcal{J})\subset 0+\mathcal{\mathcal{I}}. Desde
\pequeño
{
\begin{align}
\Phi(KK^{-1}-1)&=KK-1+\mathcal{J}=(K^2-1)+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\Phi(K^{-1}K-1)&=KK-1+\mathcal{J}=(K^2-1)+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\Phi(KE-EK)&=KXK-XKK+\mathcal{J}=(KX-XK)K+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\Phi(KF-FK)&=KY-YK+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\Phi([E,F]-L)&=XKY-YXK-HK+\mathcal{J}=XYK-YXK-HK+\mathcal{J}\\
&=([X,Y]-H)K+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\Phi(K^2-1)&=K^2-1+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\Phi([L,E]-EK-K^{-1}E)&=HKXK-XKHK-XKK-KXK+\mathcal{J}\\
&=HXK^2-XHK^2-XK^2-XK^2+\mathcal{J}=([H,X]-2X)K^2+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\Phi([L,F]+FK+K^{-1}F)&=HKY-YHK+YK+KY+\mathcal{J}\\
&=HYK-YHK+YK+YK+\mathcal{J}=([H,Y]+2Y)K+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\end{align}
}
a continuación, todas las relaciones que forman \mathcal{\mathcal{I}} se asignan a 0+\mathcal{J} bajo \Phi. Por lo tanto \Phi(\mathcal{\mathcal{I}})\subset 0+\mathcal{J}. Desde
\pequeño{
\begin{align}
\Psi(XK-KX)&=EK^{-1}K-KEK^{-1}+\mathcal{\mathcal{I}}=E-E+\mathcal{\mathcal{I}}=0+\mathcal{\mathcal{I}}\\
\Psi (YK-KY)&=FK-KF+\mathcal{\mathcal{I}}=0+\mathcal{\mathcal{I}}\\
\Psi (HK-KH)&=LK^{-1}K-KLK^{-1}+\mathcal{\mathcal{I}}=L-L+\mathcal{I}=0+\mathcal{I}\\
\Psi(K^2-1)&=K^2-1+\mathcal{I}=0+\mathcal{I}\\
\Psi([X,Y]-H)&=EK^{-1}F-FEK^{-1}-LK^{-1}+\mathcal{I}\\
&=EFK-FEK-LK+\mathcal{I}=([E,F]-L)K+\mathcal{I}=0+\mathcal{I}\\
\Psi([H,X]-2X)&=LK^{-1}EK^{-1}-EK^{-1}LK^{-1}-2EK^{-1}+\mathcal{I}\\
&=LKEK-EKLK-2EK=LEKK-ELKK-EK-KE+\mathcal{I}\\
&=[E,L]K^2-EK-K^{-1}E+\mathcal{I}=[E,L]-EK-K^{-1}E=0+\mathcal{I}\\
\Psi([H,Y]+2Y)&=LK^{-1}F-FLK^{-1}+2F+\mathcal{I}\\
&=LKF-FLK+2FK^{-1}K+\mathcal{I}=([L,F]+2FK^{-1})K+\mathcal{I}\\
&=([L,F]+FK^{-1}+FK^{-1})K=0+\mathcal{J}\\
\end{align}
}
a continuación, todas las relaciones que forman \mathcal{J} se asignan a 0+\mathcal{I} bajo \Psi. Por lo tanto \Psi(\mathcal{J})\subset 0+\mathcal{I} Dado este inclusiones se puede decir que no existe bien definidos homomorphisms de álgebras de
\pequeño{
\varphi:U_1'\a\frac{U[K]}{(K^2-1)}\qquad\psi:\frac{U[K]}{(K^2-1)}\a U_1'
}
bien definida por
\pequeño
{
\varphi(E+\mathcal{I})=XK+\mathcal{J},\;\varphi(F+\mathcal{I})=Y+\mathcal{J},\;\varphi(L+\mathcal{I})=HK+\mathcal{J}\\
\varphi(K+\mathcal{I})=K+\mathcal{J},\;\varphi(K^{-1}+\mathcal{I})=K+\mathcal{J}\\
\psi(X+\mathcal{J})=EK^{-1}+\mathcal{I},\;\psi(Y+\mathcal{J})=F+\mathcal{I},\;\psi(H+\mathcal{J})=LK^{-1}+\mathcal{I},\;\psi(K+\mathcal{J})=K+\mathcal{I}
}
Tenga en cuenta que
\pequeño{
(\varphi\circ\psi)(X+\mathcal{J})=X+\mathcal{J},\qquad
(\varphi\circ\psi)(Y+\mathcal{J})=Y+\mathcal{J},\\
(\varphi\circ\psi)(H+\mathcal{J})=H+\mathcal{J},\qquad
(\varphi\circ\psi)(K+\mathcal{J})=K+\mathcal{J}\\
(\psi\circ\varphi)(E+\mathcal{I})=E+\mathcal{I},\qquad
(\psi\circ\varphi)(F+\mathcal{I})=F+\mathcal{I},\qquad
(\psi\circ\varphi)(L+\mathcal{I})=L+\mathcal{I},\qquad
(\psi\circ\varphi)(K+\mathcal{I})=K+\mathcal{I},\qquad
(\psi\circ\varphi)(K^{-1}+\mathcal{I})=K^{-1}+\mathcal{I}
}
Desde \varphi \psi son los inversos de cada uno de los generadores, entonces el inverso de homomorphisms el uno al otro. Ahora podemos decir que el isomorfismo se construye.
Segundo isomorfismo Nota que
\pequeño
{
\frac{U_1'}{(K-1)}=\frac{\mathbb{k}\{E,F,L,K,K^{-1}\}}{\begin{pmatrix}KK^{-1}-1& K^{-1}K-1& KE-EK& KF-FK\\ [E,F]-L& K^2-1& [L,E]-EK-K^{-1}E& [L,F]+FK+K^{-1}F\\ &K - 1&\end{pmatrix}}
}
Denotar ideales
\pequeño
\mathcal{I}=\begin{pmatrix}KK^{-1}-1& K^{-1}K-1& KE-EK& KF-FK\\ [E,F]-L& K^2-1& [L,E]-EK-K^{-1}E& [L,F]+FK+K^{-1}F\\ &K - 1&\end{pmatrix}\subconjunto\mathbb{k}\{E,F,L,K,K^{-1}\}\\
\pequeño
\mathcal{J}=([X,Y]-H [H,X] 2X [H,Y]+2Y)\subconjunto\mathbb{k}\{X,Y,H\}
Considere la posibilidad de homomorphisms
\pequeño
\Phi:\mathbb{k}\{E,F,L,K,K^{-1}\}\U\\
\Psi:\mathbb{k}\{X,Y,H\}\\frac{U_1'}{(K-1)}
definido por
\pequeño
\Phi(E)=X+\mathcal{J}\;\Phi(F)=Y+\mathcal{J},\;\Phi(L)=H+\mathcal{J},\;\Phi(K)=1+\mathcal{J},\;\Phi(K^{-1})=1+\mathcal{J}\\
\pequeño
\Psi(X)=E+\mathcal{I},\;\Psi(Y)=F+\mathcal{I},\;\Psi(H)=L+\mathcal{I}
Vamos a mostrar que \Phi(\mathcal{I})\subset 0+\mathcal{J}\Psi(\mathcal{J})\subset 0+\mathcal{I}. Desde
\pequeño
{
\begin{align}
\Phi(KK^{-1}-1)&=1\cdot 1-1+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\Phi(K^{-1}K-1)&=1\cdot 1-1+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\Phi(KE-EK)&=1X-X1+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\Phi(KF-FK)&=1Y-Y1+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\Phi([E,F]-L)&=XY-YX-H+\mathcal{J}=([X,Y]-H)+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\Phi(K^2-1)&=1^2-1+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\Phi([L,E]-EK-K^{-1}E)&=HX-XH-X1-1X+\mathcal{J}=([H,X]-2X)+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\Phi([L,F]+FK+K^{-1}F)&=HY-YH+Y1+1Y+\mathcal{J}=([H,Y]+2Y)+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\
\end{align}
}
a continuación, todas las relaciones que forman \mathcal{I} se asignan a 0+\mathcal{J} bajo \Phi. Por lo tanto \Phi(\mathcal{I})\subset 0+\mathcal{J}. Desde
\pequeño{
\begin{align}
\Psi([X,Y]-H)&=EF-FE-L+\mathcal{I}=([E,F]-L)+\mathcal{I}=0+\mathcal{I}\\
\Psi([H,X]-2X)&=LE-EL-2E+\mathcal{I}=[E,L]-E1-1E+\mathcal{I}\\
&=[E,L]-EK-K^{-1}E+\mathcal{I}=0+\mathcal{I}\\
\Psi([H,Y]+2Y)&=LF-FL+2F+\mathcal{I}=([L,F]+F1+1F)+\mathcal{I}\\
&=([L,F]+FK+K^{-1}F)+\mathcal{I}=0+\mathcal{J}\\
\end{align}
}
a continuación, todas las relaciones que forman \mathcal{J} se asignan a 0+\mathcal{\mathcal{I}} bajo \Psi. Por lo tanto \Psi(\mathcal{J})\subset 0+\mathcal{\mathcal{I}} Dado este inclusiones se puede decir que no existe bien definidos homomorphisms de álgebras de
\pequeño{
\varphi:U\a\frac{U_1'}{(K-1)}\qquad\psi:\frac{U_1'}{(K-1)}\a U
}
bien definida por
\pequeño
{
\varphi(E+\mathcal{I})=X+\mathcal{J}\;\varphi(F+\mathcal{I})=Y+\mathcal{J},\;\varphi(L+\mathcal{I})=H+\mathcal{J}\\
\varphi(K+\mathcal{I})=1+\mathcal{J},\;\varphi(K^{-1}+\mathcal{I})=1+\mathcal{J}\\
\psi(X+\mathcal{J})=E+\mathcal{I},\;\psi(Y+\mathcal{J})=F+\mathcal{I},\;\psi(H+\mathcal{J})=L+\mathcal{I}
}
Tenga en cuenta que
\pequeño{
(\varphi\circ\psi)(X+\mathcal{J})=X+\mathcal{J}\qquad
(\varphi\circ\psi)(Y+\mathcal{J})=Y+\mathcal{J}\qquad
(\varphi\circ\psi)(H+\mathcal{J})=H+\mathcal{J}\\
(\psi\circ\varphi)(E+\mathcal{\mathcal{I}})=E+\mathcal{\mathcal{I}}\qquad
(\psi\circ\varphi)(F+\mathcal{\mathcal{I}})=F+\mathcal{\mathcal{I}}\qquad
(\psi\circ\varphi)(L+\mathcal{\mathcal{I}})=L+\mathcal{\mathcal{I}}\\
(\psi\circ\varphi)(K+\mathcal{\mathcal{I}})=K+\mathcal{\mathcal{I}}\qquad
(\psi\circ\varphi)(K^{-1}+\mathcal{\mathcal{I}})=K^{-1}+\mathcal{\mathcal{I}}\\
}
Desde \varphi \psi son inversos el uno del otro en los generadores, entonces el inverso de homomorphisms de cada uno de los otros. Ahora podemos decir que el isomorfismo se construye.