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Grupos cuánticos: probarU1U[K]/(K21) yUU1/(K1)

Con respecto a este teorema, que es en Kassel pg 126, tengo dos preguntas. He escrito en el correspondiente material de referencia.

1) ¿Cómo U1U[K]/(K21) imply UU1/(K1)? Kassel parece dar a entender que es suficiente para demostrar la primera isomorfismo.

2) ¿Cómo llegamos a la conclusión de que "aquí Tenemos un isomorfismo de U1 U[K]/(K21)mediante el envío de E a XK, F a Y, K a K, e LHK."

Las más sinceras gracias por la ayuda!


Para probar: Si q=1, tenemos U1U[K]/(K21) and UU1/(K1)

Kassel Prueba (parafraseado): Primero vamos a probar el primer isomorfismo. Ahora, U1 es generado por E,F,K,K1,L y Relaciones (???--???) en el que q ha sido sustituido por 1, es decir,

KK1=K1K=1 (2.5)

KEK1=E,   KFK1=F (2.6)

[E,F]=L,   KK1=0 (2.7)

[L,E]=(EK+K1E[L,F]=(FK+K1F) (2.8)

Relación de 2,5 implica que K viajes con K1. Relación 2.6 se puede reescribir como KE=EK, KF=FK, por lo tanto K viajes con E, F. Por lo tanto, K es central.

La segunda relación en (2.7) da K=K1, por lo tanto K2=1. Por lo tanto, podemos reescribir las Relaciones (2.8) como

[L,E]=(EK+K1E) =K2(EK+K1E) =EK+KE =2EK

[L,F]=(FK+K1F) =K2(FK+K1F) =(FK+KF) =2FK

A continuación, obtener un isomorfismo de U1 U[K]/(K21)mediante el envío de E a XK, F a Y, K a K, e LHK.

8voto

mona Puntos 38

Recordemos que \pequeño U=\frac{\mathbb{k} \{X,Y,H\}}{([X,Y]-H [H,X] 2X [H,Y]+2Y)}\\ \pequeño { U_1'=\frac{\mathbb{k}\{E,F,L,K,K^{-1}\}}{\begin{pmatrix}KK^{-1}-1& K^{-1}K-1& KE-EK& KF-FK\\ [E,F]-L& K^2-1& [L,E]-EK-K^{-1}E& [L,F]+FK+K^{-1}F\end{pmatrix}} } Ahora vamos a proceder a la construcción de isomorphisms.

Primera isomorfismo Nota que \pequeño U[K]=\frac{\mathbb{k} \{X,Y,H,K\}}{\begin{pmatrix}[X,Y]-H& [H,X]-2X& [H,Y]+2Y\\XK-KX& YK-KY& HK-KY\end{pmatrix}} \pequeño \frac{U[K]}{(K^2-1)}=\frac{\mathbb{k} \{X,Y,H,K\}}{\begin{pmatrix}[X,Y]-H& [H,X]-2X& [H,Y]+2Y\\XK-KX& YK-KY& HK-KH\\ &K^2-1&\end{pmatrix}} Denotar ideales \pequeño \mathcal{\mathcal{I}}=\begin{pmatrix}KK^{-1}-1& K^{-1}K-1& KE-EK& KF-FK\\ [E,F]-L& K^2-1& [L,E]-EK-K^{-1}E& [L,F]+FK+K^{-1}F\end{pmatrix}\subconjunto\mathbb{k}\{E,F,L,K,K^{-1}\}\\ \pequeño \mathcal{J}=\begin{pmatrix}[X,Y]-H& [H,X]-2X& [H,Y]+2Y\\XK-KX& YK-KY& HK-KH\\ &K^2-1&\end{pmatrix}\subconjunto\mathbb{k}\{X,Y,H,K\} Considere la posibilidad de homomorphisms de álgebras de \pequeño \Phi:\mathbb{k}\{E,F,L,K,K^{-1}\}\\frac{U[K]}{(K^2-1)}\\ \Psi:\mathbb{k}\{X,Y,H,K\}\a U_1' definido por \pequeño \Phi(E)=XK+\mathcal{J},\;\Phi(F)=Y+\mathcal{J},\;\Phi(L)=HK+\mathcal{J},\;\Phi(K)=K+\mathcal{J},\;\Phi(K^{-1})=K+\mathcal{J}\\ \pequeño \Psi(X)=EK^{-1}+\mathcal{\mathcal{I}},\;\Psi(Y)=F+\mathcal{\mathcal{I}},\;\Psi(H)=LK^{-1}+\mathcal{\mathcal{I}},\;\Psi(K)=K+\mathcal{\mathcal{I}} Vamos a mostrar que \Phi(\mathcal{\mathcal{I}})\subset 0+\mathcal{J}\Psi(\mathcal{J})\subset 0+\mathcal{\mathcal{I}}. Desde \pequeño { \begin{align} \Phi(KK^{-1}-1)&=KK-1+\mathcal{J}=(K^2-1)+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \Phi(K^{-1}K-1)&=KK-1+\mathcal{J}=(K^2-1)+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \Phi(KE-EK)&=KXK-XKK+\mathcal{J}=(KX-XK)K+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \Phi(KF-FK)&=KY-YK+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \Phi([E,F]-L)&=XKY-YXK-HK+\mathcal{J}=XYK-YXK-HK+\mathcal{J}\\ &=([X,Y]-H)K+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \Phi(K^2-1)&=K^2-1+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \Phi([L,E]-EK-K^{-1}E)&=HKXK-XKHK-XKK-KXK+\mathcal{J}\\ &=HXK^2-XHK^2-XK^2-XK^2+\mathcal{J}=([H,X]-2X)K^2+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \Phi([L,F]+FK+K^{-1}F)&=HKY-YHK+YK+KY+\mathcal{J}\\ &=HYK-YHK+YK+YK+\mathcal{J}=([H,Y]+2Y)K+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \end{align} } a continuación, todas las relaciones que forman \mathcal{\mathcal{I}} se asignan a 0+\mathcal{J} bajo \Phi. Por lo tanto \Phi(\mathcal{\mathcal{I}})\subset 0+\mathcal{J}. Desde \pequeño{ \begin{align} \Psi(XK-KX)&=EK^{-1}K-KEK^{-1}+\mathcal{\mathcal{I}}=E-E+\mathcal{\mathcal{I}}=0+\mathcal{\mathcal{I}}\\ \Psi (YK-KY)&=FK-KF+\mathcal{\mathcal{I}}=0+\mathcal{\mathcal{I}}\\ \Psi (HK-KH)&=LK^{-1}K-KLK^{-1}+\mathcal{\mathcal{I}}=L-L+\mathcal{I}=0+\mathcal{I}\\ \Psi(K^2-1)&=K^2-1+\mathcal{I}=0+\mathcal{I}\\ \Psi([X,Y]-H)&=EK^{-1}F-FEK^{-1}-LK^{-1}+\mathcal{I}\\ &=EFK-FEK-LK+\mathcal{I}=([E,F]-L)K+\mathcal{I}=0+\mathcal{I}\\ \Psi([H,X]-2X)&=LK^{-1}EK^{-1}-EK^{-1}LK^{-1}-2EK^{-1}+\mathcal{I}\\ &=LKEK-EKLK-2EK=LEKK-ELKK-EK-KE+\mathcal{I}\\ &=[E,L]K^2-EK-K^{-1}E+\mathcal{I}=[E,L]-EK-K^{-1}E=0+\mathcal{I}\\ \Psi([H,Y]+2Y)&=LK^{-1}F-FLK^{-1}+2F+\mathcal{I}\\ &=LKF-FLK+2FK^{-1}K+\mathcal{I}=([L,F]+2FK^{-1})K+\mathcal{I}\\ &=([L,F]+FK^{-1}+FK^{-1})K=0+\mathcal{J}\\ \end{align} } a continuación, todas las relaciones que forman \mathcal{J} se asignan a 0+\mathcal{I} bajo \Psi. Por lo tanto \Psi(\mathcal{J})\subset 0+\mathcal{I} Dado este inclusiones se puede decir que no existe bien definidos homomorphisms de álgebras de \pequeño{ \varphi:U_1'\a\frac{U[K]}{(K^2-1)}\qquad\psi:\frac{U[K]}{(K^2-1)}\a U_1' } bien definida por \pequeño { \varphi(E+\mathcal{I})=XK+\mathcal{J},\;\varphi(F+\mathcal{I})=Y+\mathcal{J},\;\varphi(L+\mathcal{I})=HK+\mathcal{J}\\ \varphi(K+\mathcal{I})=K+\mathcal{J},\;\varphi(K^{-1}+\mathcal{I})=K+\mathcal{J}\\ \psi(X+\mathcal{J})=EK^{-1}+\mathcal{I},\;\psi(Y+\mathcal{J})=F+\mathcal{I},\;\psi(H+\mathcal{J})=LK^{-1}+\mathcal{I},\;\psi(K+\mathcal{J})=K+\mathcal{I} } Tenga en cuenta que \pequeño{ (\varphi\circ\psi)(X+\mathcal{J})=X+\mathcal{J},\qquad (\varphi\circ\psi)(Y+\mathcal{J})=Y+\mathcal{J},\\ (\varphi\circ\psi)(H+\mathcal{J})=H+\mathcal{J},\qquad (\varphi\circ\psi)(K+\mathcal{J})=K+\mathcal{J}\\ (\psi\circ\varphi)(E+\mathcal{I})=E+\mathcal{I},\qquad (\psi\circ\varphi)(F+\mathcal{I})=F+\mathcal{I},\qquad (\psi\circ\varphi)(L+\mathcal{I})=L+\mathcal{I},\qquad (\psi\circ\varphi)(K+\mathcal{I})=K+\mathcal{I},\qquad (\psi\circ\varphi)(K^{-1}+\mathcal{I})=K^{-1}+\mathcal{I} } Desde \varphi \psi son los inversos de cada uno de los generadores, entonces el inverso de homomorphisms el uno al otro. Ahora podemos decir que el isomorfismo se construye.

Segundo isomorfismo Nota que \pequeño { \frac{U_1'}{(K-1)}=\frac{\mathbb{k}\{E,F,L,K,K^{-1}\}}{\begin{pmatrix}KK^{-1}-1& K^{-1}K-1& KE-EK& KF-FK\\ [E,F]-L& K^2-1& [L,E]-EK-K^{-1}E& [L,F]+FK+K^{-1}F\\ &K - 1&\end{pmatrix}} } Denotar ideales \pequeño \mathcal{I}=\begin{pmatrix}KK^{-1}-1& K^{-1}K-1& KE-EK& KF-FK\\ [E,F]-L& K^2-1& [L,E]-EK-K^{-1}E& [L,F]+FK+K^{-1}F\\ &K - 1&\end{pmatrix}\subconjunto\mathbb{k}\{E,F,L,K,K^{-1}\}\\ \pequeño \mathcal{J}=([X,Y]-H [H,X] 2X [H,Y]+2Y)\subconjunto\mathbb{k}\{X,Y,H\} Considere la posibilidad de homomorphisms \pequeño \Phi:\mathbb{k}\{E,F,L,K,K^{-1}\}\U\\ \Psi:\mathbb{k}\{X,Y,H\}\\frac{U_1'}{(K-1)} definido por \pequeño \Phi(E)=X+\mathcal{J}\;\Phi(F)=Y+\mathcal{J},\;\Phi(L)=H+\mathcal{J},\;\Phi(K)=1+\mathcal{J},\;\Phi(K^{-1})=1+\mathcal{J}\\ \pequeño \Psi(X)=E+\mathcal{I},\;\Psi(Y)=F+\mathcal{I},\;\Psi(H)=L+\mathcal{I} Vamos a mostrar que \Phi(\mathcal{I})\subset 0+\mathcal{J}\Psi(\mathcal{J})\subset 0+\mathcal{I}. Desde \pequeño { \begin{align} \Phi(KK^{-1}-1)&=1\cdot 1-1+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \Phi(K^{-1}K-1)&=1\cdot 1-1+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \Phi(KE-EK)&=1X-X1+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \Phi(KF-FK)&=1Y-Y1+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \Phi([E,F]-L)&=XY-YX-H+\mathcal{J}=([X,Y]-H)+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \Phi(K^2-1)&=1^2-1+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \Phi([L,E]-EK-K^{-1}E)&=HX-XH-X1-1X+\mathcal{J}=([H,X]-2X)+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \Phi([L,F]+FK+K^{-1}F)&=HY-YH+Y1+1Y+\mathcal{J}=([H,Y]+2Y)+\mathcal{J}=0+\mathcal{J}\\ \end{align} } a continuación, todas las relaciones que forman \mathcal{I} se asignan a 0+\mathcal{J} bajo \Phi. Por lo tanto \Phi(\mathcal{I})\subset 0+\mathcal{J}. Desde \pequeño{ \begin{align} \Psi([X,Y]-H)&=EF-FE-L+\mathcal{I}=([E,F]-L)+\mathcal{I}=0+\mathcal{I}\\ \Psi([H,X]-2X)&=LE-EL-2E+\mathcal{I}=[E,L]-E1-1E+\mathcal{I}\\ &=[E,L]-EK-K^{-1}E+\mathcal{I}=0+\mathcal{I}\\ \Psi([H,Y]+2Y)&=LF-FL+2F+\mathcal{I}=([L,F]+F1+1F)+\mathcal{I}\\ &=([L,F]+FK+K^{-1}F)+\mathcal{I}=0+\mathcal{J}\\ \end{align} } a continuación, todas las relaciones que forman \mathcal{J} se asignan a 0+\mathcal{\mathcal{I}} bajo \Psi. Por lo tanto \Psi(\mathcal{J})\subset 0+\mathcal{\mathcal{I}} Dado este inclusiones se puede decir que no existe bien definidos homomorphisms de álgebras de \pequeño{ \varphi:U\a\frac{U_1'}{(K-1)}\qquad\psi:\frac{U_1'}{(K-1)}\a U } bien definida por \pequeño { \varphi(E+\mathcal{I})=X+\mathcal{J}\;\varphi(F+\mathcal{I})=Y+\mathcal{J},\;\varphi(L+\mathcal{I})=H+\mathcal{J}\\ \varphi(K+\mathcal{I})=1+\mathcal{J},\;\varphi(K^{-1}+\mathcal{I})=1+\mathcal{J}\\ \psi(X+\mathcal{J})=E+\mathcal{I},\;\psi(Y+\mathcal{J})=F+\mathcal{I},\;\psi(H+\mathcal{J})=L+\mathcal{I} } Tenga en cuenta que \pequeño{ (\varphi\circ\psi)(X+\mathcal{J})=X+\mathcal{J}\qquad (\varphi\circ\psi)(Y+\mathcal{J})=Y+\mathcal{J}\qquad (\varphi\circ\psi)(H+\mathcal{J})=H+\mathcal{J}\\ (\psi\circ\varphi)(E+\mathcal{\mathcal{I}})=E+\mathcal{\mathcal{I}}\qquad (\psi\circ\varphi)(F+\mathcal{\mathcal{I}})=F+\mathcal{\mathcal{I}}\qquad (\psi\circ\varphi)(L+\mathcal{\mathcal{I}})=L+\mathcal{\mathcal{I}}\\ (\psi\circ\varphi)(K+\mathcal{\mathcal{I}})=K+\mathcal{\mathcal{I}}\qquad (\psi\circ\varphi)(K^{-1}+\mathcal{\mathcal{I}})=K^{-1}+\mathcal{\mathcal{I}}\\ } Desde \varphi \psi son inversos el uno del otro en los generadores, entonces el inverso de homomorphisms de cada uno de los otros. Ahora podemos decir que el isomorfismo se construye.

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