Una pregunta para aclarar el uso de series divergentes en el cálculo del efecto casimir

Question

Hace algún tiempo publiqué una pregunta aquí en este foro. Me gustaría hacerle algunas preguntas acerca de la forma en que la energía por unidad de área entre placas se calcula. El cálculo completo está en la wikipedia.

En algún momento en el cálculo de la correspondiente página de la wikipedia (ver el enlace de arriba), tenemos la ecuación: $$\frac{ \langle E \rangle }{ A} = - \frac{ \hbar c \pi^2 }{6a^3}\cdot\zeta(-3) . $$

En el siguiente paso, está escrito con bastante indiferencia que $\zeta(-3) = - \frac{1}{120} \qquad (*) $. Esto es cierto cuando se considera la continuación analítica de la de riemann zeta función o la Ramanujan Suma método.

Por lo tanto, se concluye, que el $$\frac{ \langle E \rangle }{A} = - \frac{ \hbar c \pi^2}{720 a^3} . $$ Me pregunto bajo qué circunstancias la gente decidió asumir el $(*)$-marcado ecuación es 'true'. No puedo pensar en un par de escenarios:

1. La fórmula para $\frac{ \langle E \rangle }{A} $ ya fue derivado por medio de otro método que no requiere el uso de (regularizada) sumas divergentes. Por lo tanto, los físicos se podría inferir que el $\zeta(-3)$ tenía que ser igual a $ - \frac{1}{120} $, con lo que la derivación de la fórmula por medio de este método, que hace uso de divergente la serie, correcto.
2. La fórmula exacta para $\frac{ \langle E \rangle }{A} $ no era ya conocido. El físico tenía algunos puntos de datos que, aproximadamente, les mostró cómo la fórmula debe buscar. Por lo tanto, se trató de algunos de los diferentes constantes para $\zeta(-3)$. En algún momento se adivinado $\zeta(-3) = - \frac{1}{120} $, lo que produjo una fórmula que coincidió con los datos conocidos puntos. Quizás ellos ya se sabe que $\zeta(-3) = - \frac{1}{120} $ por medio de la función zeta de regularización, lo que es más fácil el uso de esta ecuación como una "conjetura" para encontrar una fórmula conveniente para $\frac{ \langle E \rangle }{A} $ .
3. Algún otro escenario.

La situación que aproximadamente se describe cómo la fórmula para $\frac{ \langle E \rangle }{A} $ entró en existencia? Si fue el escenario 1, que otro método hicieron los físicos anteriormente emplean para derivar la fórmula? Si fue el escenario 3, cómo se hizo todo este proceso se despliegan?

Muchas gracias,

Max

Answer 1

Los zeta función está definida para ser el (único) de continuación analítica de $\zeta(s):=\sum_{n=1}^\infty n^{-s}$. Esto implica $\zeta(-3)=1/120$.

Por lo tanto su (*) es verdadera por definición, y una teoría que proporciona la fórmula
$\zeta(-n)=-B_{n+1}/(n+1)$ para los números naturales $n$. http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function

Si el resultado final está de acuerdo con la (experimental o teórica) de la tradición, descuidado formal argumentos como que en el artículo de la Wikipedia citado son casi universalmente aceptado en la física - excepto en la física matemática, donde los estándares de rigor están mucho más cercanos a los de las matemáticas en sí.

Answer 2

Su ruta de pensamientos me parece un poco defectuoso. En la wikipedia el artículo (19.3.2014) antes de la referencia formal a la $\zeta(-3)$ la fórmula se deriva de algunos conceptual argumentando que terminó en una fórmula de tener la infinita suma de formulario a -$\sum |n|^{-3}$. Pero esta es sólo la descripción formal de la $\zeta(3)$.

Así que a partir de algunas físico/lógico discutiendo acerca de un número infinito de pie-ondas alguien la conclusión de la fórmula matemática con el respectivo número infinito de términos que - "accidentalmente" - muestra el formulario que también es la de la $\zeta()$-función.

Sólo después de que él recurrió a la equivalencia, que se da en las matemáticas de la divergencia de la serie de Dirichlet de la serie, que este debe ser evaluado a $ \zeta(-3)= - \frac1{120}$ .

Por qué -en matemáticas - este valor es una buena/razonable de la evaluación de la $\zeta(-3)$ va de regreso a L. Euler y muy fácil de argumentos, por ejemplo, a partir de la conversión de $1-8+27-64...$ (que puede más fácilmente ser evaluados - con el suavizado de las sumas parciales, por ejemplo, Euler-suma) a $1+8+27+64+...$ por su multiplicación-trick y el resultado general de la $\eta()/\zeta()$-conversión.

Si esta puramente matemático razonamiento es todavía razonable en el mundo real de la física (y la casimir-efecto y la asunción de una infinidad de pie-ondas) es otra cuestión y deben ser revisados más adelante. (Supongo que la energía de la fórmula con que valor insertado tiene, de hecho, ya se ha comprobado para expresar correctamente las materias de que se trate allí, pero no sé por que)