Incluso los números de Fibonacci y$\sqrt{5}$

Question

Mi pregunta es simple, pero un misterio para mí. Saltar al último párrafo si usted no está interesado en la historia de mi exploración.

EDIT: me parece que han malinterpretado un detalle clave acerca de cómo la secuencia se refiere a la continuación de la fracción de expansión de $\sqrt{5}$ que me he fijado en este post. Ver los comentarios para obtener más información.

El fondo: tuve la brillante idea de considerar el Fibonacci como la secuencia que se inicia con $$\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$ as initial values, and see what happens. Nothing too interesting, it just devolves into $$T_n = \frac{F_n + F_{n-2}\sqrt{5}}{2}$$ fairly quickly ($\forall n \geq 4$); this has nothing to do with the presence of $\sqrt{5}$ como frente a cualquier otro valor.

Sin embargo, el 2 en el denominador se me dio algo para trabajar: cada tercer número Fibonacci es, sin duda, incluso, lo que significa que puede reducir cada tercer elemento de esta secuencia que hemos construido. El primer par de estos, reducido, son: $$\begin{array}{c|ccccc}n & 3 & 6 & 9 & 12 & 15\\ \hline T_n & 0\sqrt{5}+1 & 1\sqrt{5}+4 & 4\sqrt{5}+17 & 17\sqrt{5}+72 & 72\sqrt{5}+305 & \end{array}$$

Fue en ese momento que me di cuenta de todo lo que estaba haciendo estaba tomando el $3n$ésimo número de Fibonacci y dividiendo por dos, que era un poco aburrido. Pensé que había que buscar la secuencia en la OEIS, sin embargo, y parece ser la secuencia de los denominadores que se obtiene después de truncar la continuación de la fracción de expansión de $\sqrt{5}$ después de un cierto número de denominadores y luego simplificar.

La pregunta: ¿por qué?

Answer 1

La recursividad para el $3n\,$ésimo número de Fibonacci: vamos a $G_n=F_{3n}$. Entonces tenemos $$\eqalign{ G_{n+1}&=F_{3n+2}+F_{3n+1}\cr F_{3n+2}&=F_{3n+1}+G_n\cr 2F_{3n+1}&=2G_n+2F_{3n-1}\cr -G_n&=-F_{3n-1}-F_{3n-2}\cr F_{3n-1}&=F_{3n-2}+G_{n-1}\ .\cr}$$ Ahora agregue todas estas ecuaciones: un montón de cosas cancelar y obtenemos $$G_{n+1}=4G_n+G_{n-1}\ .$$ Para el convergents $p_n/q_n$ de forma continuada, una fracción hemos $$q_{n+1}=a_nq_n+q_{n-1}\ .$$ En el caso de $\sqrt5$ todos los $a_n$ $n\ge1$ son igual a $4$, por lo que tenemos $$q_{n+1}=4q_n+q_{n-1}\ .$$ Este es el mismo que el de la recurrencia de $G_n$, así como los valores iniciales de partido, las secuencias serán idénticos.