Probabilidad que converge la serie de tipo de armónica al azar

Question

Recientemente me han llegado a través de una variedad de maravillosos resultados que se ocupan de la serie que se ven como la serie armónica:

Todos los de la serie $$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+1/n}}, \ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{|\sin(n)|}{n}, \ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2 - \epsilon + \sin(n)}}, \ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{1 + |\sin(n)|}} $$ a divergir.

La prueba de los tres últimos en su mayoría se basa en el hecho de que las partes fraccionarias de $\{\sin(n)\}_{n \in \mathbb{N}}$ son equidistributed en la unidad de intervalo.

Esto me lleva a la siguiente pregunta:

Deje $u_i \sim Unif([0,1])$. ¿Cuál es la probabilidad de que $$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+ u_n}}$$ diverge ?

Del mismo modo, podemos pedir un análogo de la pregunta donde $u_i$ provienen de una distribución arbitraria $X$. No tengo mucho conocimiento en esta área tan útiles comentarios y las direcciones son bienvenidos.

Answer 1

La variable aleatoria $\displaystyle {1\over n^{1+u_n}}$ tiene una media de valor de $\int_0^1 {1\over n^{1+u}}\,du\approx {1\over n\log(n)}$. Desde $\sum_{n=2}^\infty {1\over n\log(n)}=\infty$ el azar suma también diverge a infinito, con probabilidad uno. De esta manera se sigue, por ejemplo, de la prueba de Kolmogorov tres teorema de las series.

En las tres series, teorema, el azar series converge con probabilidad 1, o diverge con probabilidad 1. Y puesto que los sumandos son positivos, tus series divergentes a $+\infty$.