Probar: $z^{12}+3z^8+101z^4+1$ tiene una raíz en el círculo unitario

Question

Demostrar que $$f(z)=z^{12}+3z^8+101z^4+1$$ has a root on the unit circle or $|z|\leq 1$

Así que comencé a buscar en $$z^{12}+3z^8+101z^4+1=0$$

Por lo tanto $$z^{12}+3z^8+101z^4=-1$$

mirando a $z=rcis\theta$ tenemos

$$r^{12}cis(12\cdot\theta)+3r^8cis(8\cdot \theta)+101r^4cis(4\cdot \theta)=-1$$

Y puedo ver que si $x=r^4cis(4\theta)$ tenemos

$$x^3+3x^2+101x+1=0$$

También sé que si $z$ es una solución para que no $\overline{z}$

¿Cómo debo continuar?

Por otra parte: ¿se Puede decir que $12$ grado del polinomio como $12$ raíces complejas ( $z$ $\overline{z}$ ), sino porque tenemos $z^8$$z^4$, por lo que habrá menos de $12$ soluciones?

Answer 1

Es fácil ver que no hay no tiene ninguna raíz en el límite del círculo. Por otra parte, el producto de las raíces es $1$. ¿Cómo puede ser esto?

Answer 2

Se puede aplicar el teorema de Rouché. Que $f(z)=z^{12}+3z^8+101z^4+1$ y $g(z)=101z^4$.

For $|z| \leq 1$ : $$|f(z)-g(z)|=|z^{12}+3z^8+1|\leq|z^{12}|+|3z^8|+|1|=5$$ $$|g(z)|=101$$

Podemos aplicar el teorema porque $5<101$. Así $f$ tiene el mismo número de raíces como $g$ $\{z\in \mathbb{C};|z|\leq1\}$, por lo que tiene de $f$ $4$ las raíces en el dominio considerado.