Una fracción continua con una parte de repetición retrasada

Question

Previamente había visto cómo resolver de fracciones continuadas infinitas mediante la solución de un polinomio cuadrático.

¿Pero con respecto a lo siguiente he intentado los mismos métodos y podría no parecen hacer que funcione, tal vez es un buen truco que puedo usar?

$C=[3,6,1,4,1,4,1,4,.....]$

Traté de dividir en diferentes fracciones y utilizar recíprocos, pero parece que no puedo obtener cualquier forma que funciona para solucionar una cuadrática o polinomio.

Answer 1

Vamos a ignorar el $3,6$ para un seg. La fracción continua que da lugar a la ecuación

$$x=1 + \frac{1}{4+\frac{1}{x}}$$

Esto simplifica a $4x^2-4x-1=0$. Aplicar la ecuación cuadrática para obtener $x=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$. A continuación, conecte en

$$y=3+\frac{1}{6+\frac{1}{x}}$$ to get $y=\frac{1}{4} (14-\sqrt {2}) $ which intriguingly has a decimal expansion begining $ 3.14$

Answer 2

Suponga una sección de repetición de fracción como $x$.

$$x=1+\dfrac{1}{4+\dfrac{1}{x}}$$

Ahora usted puede encontrar el valor de $x$.

Entonces la fracción original es:

$$3+\dfrac{1}{6+\dfrac{1}{x}}$$