Resuelva $ \lim_ {n \to \infty } \int_ {0}^{ \pi\over3 } {{ \sin ^nx} \over \sin ^nx+ \cos ^nx}dx$

Question

$$ \lim_ {n \to \infty } \int_ {0}^{ \pi\over3 } {{ \sin ^nx} \over \sin ^nx+ \cos ^nx}dx$$
Realmente no sé qué hacer. Era muy simple si el límite superior era $ \pi /2$ porque puedo cambiar $x= \pi /2-t$ pero en mi caso no tengo ni idea. ¿Un poco de ayuda, por favor?

¡Gracias!

Answer 1

$$ \lim_ {n \to \infty } \int_ {0}^{ \pi\over3 } {{ \sin ^nx} \over \sin ^nx+ \cos ^nx}dx$$

$$= \lim_ {n \to \infty } \int_ {0}^{ \pi\over3 } \frac {1}{ \cot ^n x+1} dx$$

Tenemos eso para $x \in (0, \frac { \pi }{4})$ que $1< \cot x$ . De ahí que $ \frac {1}{ \cot ^n x+1} \to 0$ como $n \to \infty $ .

También tenemos $0< \cot x<1$ para $x \in ( \frac { \pi }{4}, \frac { \pi }{3})$ . De ahí que $ \frac {1}{ \cot ^n x+1} \to 1$ .

Así que lo hemos hecho,

$$ \int_ { \frac { \pi }{4}}^{ \frac { \pi }{3}} 1 dx$$

$$= \frac { \pi }{12}$$