A límite en $e^{A+B}$ % no conmutativa $A$y $B$

Question

Es parte del folclore que cuando dos complejos de $n\times n$ matrices $A$ $B$ viaje, la igualdad de $e^{A+B}=e^Ae^B$ mantiene. Elemental, con la consecuencia de esto es que para cualquier submultiplicative norma, la conmutación de matrices satisface la desigualdad $$||e^{A+B}||\leq ||e^A||\cdot||e^B||.$$

A principios de esta semana, yo estaba tratando de demostrar un resultado (con $n=2$) que se han beneficiado de la desigualdad anterior. Sin embargo, mi matrices de no viajar. Prueba un par de miles de pares de matrices en GNU Octave, no solo no logró pasar la prueba, lo cual es razonable evidencia para sugerir que la desigualdad anterior podría sostener en general o, si no, uno puede ser que necesite ser inteligente en la búsqueda de un contraejemplo.

Yo no podría encontrar un contraejemplo y no llegar muy lejos en la prueba.

Mientras me he movido un demostró el resultado sin la desigualdad, todavía me molesta. Puede alguien arrojar algo de luz sobre esto?

Answer 1

La desigualdad no se tiene siempre. Contraejemplo: $ A = \pmatrix {0 &-2\pi 2\pi\\ & 0}, \ B = \pmatrix {0 &-\pi\\ 4\pi y 0}, \ A + B = \pmatrix {0 &-3\pi\\ 6\pi & 0}. $$ Entonces $e^A=e^B=I$ y $$ e ^ {A+B} = \pmatrix{\cos\left(3\sqrt{2}\pi\right) &-\frac1 {\sqrt {2}} \sin\left (3\sqrt {2} \pi\right) \\ \sqrt{2}\sin\left(3\sqrt{2}\pi\right) & \cos\left(3\sqrt{2}\pi\right)}. $ Cuando se utiliza la norma del operador, numéricamente tenemos $\|e^{A+B}\|\approx1.2735>1=\|e^A\|\|e^B\|$.