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Question

Encontrar el producto infinito: $0.999 \times 0.999999 \times 0.999999999999 \cdots$, donde el número de $9$s en cada término es el doble de la anterior legislatura.

Estoy pensando en considerar el problema análogo $0.9 \times 0.99 \times 0.999 \cdots$, pero esto solo parece muy difícil de resolver. Para resolver este problema análogo, yo estaba pensando teniendo en cuenta los números que tienen una suma binaria de digitos de $1$, $2$, etc., pero esto no da nada agradable.

Por otro lado, hay una buena manera de expresar

$\frac{0.999 \times 0.999999 \times 0.999999999999 \cdots}{0.9 \times 0.99 \times 0.999 \cdots}$?

Answer 1

Podemos generalizar este problema de la siguiente manera: $$s = \prod_{n =0}^{\infty}(1-x^{2^n}) = (1-x)(1-x^2)(1-x^4)(1-x^8) ...$$ donde $x=0.001$ en su problema específico.

Si ampliamos este producto como $$s=1+\sum_{m=1}^{\infty}a_mx^m$$ a continuación, cada una de las $a_m$ es 1 o -1, porque sólo hay una manera de expresar cada uno de los m como la suma de potencias de dos (binario expansión). Y podemos ir más allá y ver que $a_m=(-1)^{t_m}$ donde $t_m$ es el número de 1s en el binario de expansión de m ($t_m$ está relacionado con el Thue-Morse de la secuencia). Si decimos que $t_0=0$, entonces tenemos $$s=\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{t_m}x^m=1-x-x^2+x^3-x^4+x^5+x^6-x^7-x^8 ...$$ No sé de una manera más sencilla de expresar este límite.

Answer 2

Parece que usted está buscando %#% $ de #% debo confesar que no veo ninguna forma cerrada posible pero podemos notar patrones muy interesantes como se muestra abajo $$ \left (\begin{array}{cc} k & P_k \\ 0 & 0.99900000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 \\ 1 & 0.99899900100000000000000000000000000000000000000000000000000000000 \\ 2 & 0.99899900099900100099900000000000000000000000000000000000000000000 \\ 3 & 0.99899900099900100099899900100099900099899900100000000000000000000 \\ 4 & 0.99899900099900100099899900100099900099899900099900100099900099900 \\ 5 & 0.99899900099900100099899900100099900099899900099900100099900099900 \\ 6 & 0.99899900099900100099899900100099900099899900099900100099900099900 \\ 7 & 0.99899900099900100099899900100099900099899900099900100099900099900 \\ 8 & 0.99899900099900100099899900100099900099899900099900100099900099900 \\ 9 & 0.99899900099900100099899900100099900099899900099900100099900099900 \\ 10 & 0.99899900099900100099899900100099900099899900099900100099900099900 \end{matriz} \right)$$