Demostrar que el polinomio $a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ no tiene ninguna raíces racionales

Question

Que $\overline{a_n \ldots a_1a_0}$ sea la representación decimal de $65^k$ $k \geq 2$. Demostrar que el polinomio $a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ no tiene ninguna raíces racionales.

Pensé en usar el teorema de la raíz racional. Sabemos que $a_0 = 5$ desde $65$ termina en un $5$, por eso cualquier raíz racional debe ser de la forma $-\dfrac{5}{a}$ o $-\dfrac{1}{a}$ $a$ Dónde está un factor entero de $a_n$. ¿Cómo podemos seguir?

Answer 1

Una respuesta incompleta, pero espero que le pueden ayudar en conseguir la respuesta final en sí.

Deje $\frac pq$ ser racional raíz de $f$. Desde $f-f(10)$ $10$ como una raíz, se deduce que el $f-f(10) = (x-10)g(x)$ algunos $g$. Ahora, vamos a $x = \frac pq$: $$ \left(\frac pq - 10\right) g\left(\frac pq\right) = -f(10) \neq 0 $$ Multiplicando por $q^n$ : $$ \left(p-10q\right)q^{n-1}g\left(\frac pq\right) = -f(10)p^n $$ A partir de aquí, sabemos que $\deg g = n-1$, por lo que el $q^{n-1}g\left(\frac pq\right)$ es un número entero. Por lo tanto, $p-10q | q^n f(10)$, y por la co-primalidad, $p-10q | f(10) = 65^k$.

Tenemos que $p|5$$q | a_n$. Por eso, $p = 1/5$, e $q$ debe satisfacer $p-10q | 65^k$ donde $-9 \leq q \leq -1$ (el polinomio no tiene raíces positivas por Descartes' regla de los signos).

Tenga en cuenta que si $p=1$, luego de la anterior $q$, no el caso de los partidos. Sin embargo, si $p=5$, $q=-6$ se ajusta a los criterios. Así que todo lo que tenemos que hacer es comprobar que el $\frac{-5}{6}$ no es una raíz racional, entonces hemos terminado. De hecho, esto demuestra que si el coeficiente inicial $a_n \neq 6$, entonces hemos terminado.

Answer 2

Deje $f_n$ ser el polinomio obtenido a partir de los dígitos de $65^n$. La otra respuesta muestra que si $p/q$ es una raíz de este polinomio en términos mínimos, a continuación,$p-10q|65^n$; junto con los límites en las $f_n$, esto implica que debemos tener $p=-5$ y, o bien $q=2$ o $q=6$. Es decir, la única posibilidad racional de las raíces se $-\frac{5}{6}$$-\frac{5}{2}$.

Tenga en cuenta que $(6x+5)^n$ es también un polinomio en el que se evalúa a$65^n$$x=10$. Así que podemos escribir $$ f_n(x)=(6x+5)^n+(x-10)R(x) $$ para algunos polinomio $R$.

Establecimiento $x=0$ en esta expresión, tenemos $ 5=5^n-10R(0) $, y por lo $R(0)=\frac{5^{n-1}-1}{2}$, que no es un múltiplo de a $5$.

Ahora, supongamos $n \geq 3$ $x$ es $-\frac{5}{6}$ o $-\frac{5}{2}$. A continuación, $(6x+5)^n$ $5$- ádico de valoración , al menos, $3$ (es decir, su numerador es múltiplo de $5^3$ cuando se escribe en términos mínimos). En contraste, el $5$-ádico de valoración de $R(x)$ $0$ (debido a que el $5$-ádico de valoración de $R(0)$$0$) y $(x-10)$ es $-\frac{5}{6}-10=-\frac{65}{6}$ o $-\frac{5}{2}-10=-\frac{25}{2}$, ninguno de los cuales ha $5$-ádico valoración mayor que $2$. Por lo $(6x+5)^n$ $(x-10)R(x)$ desigual $5$-ádico valoraciones, lo que significa que $f_n(x)=(6x+5)^n+(x-10)R(x)$ no puede posiblemente ser $0$.

Sólo queda comprobar que $f_2$ no tiene raíces racionales, por lo que es fácil de cálculo.