Traté de poner mi propio argumento en este blog hace poco, pero yo no. Déjame intentarlo de nuevo.
1)- La definición original de $\zeta(z,x) $ es
$$\zeta(z,x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+x)^z}
$$
A continuación,$\zeta(z,x)-\zeta(z,x-1)=-1/x^z$. A continuación, utilizando la representación integral, esta relación se extiende por analiticity a la máxima dominio en el que ambos lados están definidos y holomorphic. Para nuestro propósito, es suficiente para considerar las $x>0$$\Re{z}>0$. Deje $\zeta_z$ denotar el mapa de $x\to \zeta(z,x)$. Luego, usando el generador de $A$ de la dilatación del operador, es fácil comprobar que los autovalores tienen la forma $1/2+\imath E$. Para $A=(pq+qp)/2=-\imath xd/dx-\imath 1/2$. Esto le da a $A(1/x^z)=\imath (z-1/2)(1/x^z)$. Va de $A$ $H$se realiza mediante el operador $\Delta$, lo que en el formal de la ecuación de $H\zeta_{1/2+\imath E}=E\zeta_z$. El Dirichlet b.c. en el origen de las fuerzas de Correo para satisfacer $\zeta(1/2+\imath E)=0$.
2)- El primer problema que veo es que $\zeta_z$ no parece pertenecer al espacio de Hilbert ${\mathcal H}=L^2(0,\infty)$. El uso de un método clásico por Hadamard
$$\int_0^\infty |\zeta(z,x)|^2 dx=\frac{1}{1-2\Re{z}}\zeta(2\Re{z}-1)$$
que converge para $\Re{z}>1$. El uso de la representación integral, similar firmula se puede obtener, pero no he logrado mostrar que la plaza de integrabilidad presionado para $\Re{z}=1/2$. Por lo tanto veo un problema aquí.
3)- El otro problema es la definición de $\Delta$. Deje $S$ denotar la traducción del operador, que se define no rigurosamente por $Sf(x)=f(x-1)$. Si se encuentra restringido a $\mathcal H$, no es unitario, porque está definido sólo para $x>1$. Podemos definido por la imposición de $Sf(x)=0$$x\in [0,1]$. Entonces, es sólo una isometría parcial. Para$S^\ast f(x)=f(x+1)$$S^\ast S=I$, pero $S S^\ast =P$ es la proyección en $L^2(1,\infty)$. El uso de estas notaciones $\Delta= I-S=(S^\ast-I)S$. Pero tenemos un problema aquí: la función de $\zeta_z$ está definido por $x>-1$, y la extensión del intervalo de $(-1,0]$ se utiliza explícitamente en 1)-. Así que no podemos usar
$S$. Pero entonces, ¿cuál es el operador $e^{-\imath \hat{p}}$ utilizado por los autores?
4)- Si $\hat{p}$ es el operador habitual
$$\hat{p}=-\imath \frac{d}{dx}$$
entonces hay un problema con su dominio de definición. En $L^2(\mathbb R)$, es selfadjoint como se puede ver mediante el uso de la transformada de Fourier. Pero en $\mathcal H$, no lo es. Este es un clásico ejercicio encontrado en el viejo libro de Courant-Hilbert. Es decir, siempre se puede definir en el conjunto de la $L^2$ funciones $L^2$ derivado de fuga en $x=0$. Entonces es simétrica. Si por lo que su medico adjunto se define en el mismo espacio, pero sin la fuga en $x=0$. No sólo el adjunto no es simétrica, sino el conjunto de sus autovalores es la mitad inferior del plano. Esto es porque si $f_z(x)=e^{zx}$,$\hat{p}^\ast f_z=-\imath z f_z$, mientras que$f_z\in \mathcal{H}$$\Re{z}<0$. El mismo argumento muestra que el $+\imath$ no puede ser un valor propio. Esto significa que el "defecto de índices", es decir, la dimensión de los subespacios propios con autovalores $\pm\imath$, no son iguales. Entonces, el teorema de von Neumann muestran que el operador $\hat{p}$ no tiene selfajoint extensión. Si no selfadjoint, la definición de su exponencial se convierte en un problema, debido a que el funcional de cálculo es la nit se define en general.
5)- El argumento anterior puede ser reformulado en términos de que el operador $S$. Su adjunto, admite un montón de valores propios, es decir, los puntos del interior de la unidad de disco.
En conclusión, la sloppyness de las definiciones utilizadas, pero los autores conduce a un completo desastre. Nada es correcto en este documento.
Mientras los físicos utilizan el álgebra, o algorítmica de los argumentos, se pueden encontrar excelentes resultados. Pero cuando se trata de análisis, pueden perder su juicio, y graves errores se muestran en la esquina. El análisis no es fácilmente susceptible de algoritmic descripciones. Y este es, precisamente, donde el poder de las Matemáticas se encuentra: mediante la manipulación de los infinitos, Matemáticas va más allá de la de Church-Turing definición de la computabilidad. Y ¿qué es el Análisis de si no la manipulación de los infinitos, a través de los límites, la convergencia y la talla?
