Razona si es cierto que:

Question

¿Es cierto que $$\|Du\|_{L^{2p}} \le C\|u\|_{L^\infty}^{1\over2} \|D^2u\|_{L^p}^{1\over 2}$$for $1 \le p < \infty$ and all $u \in C_c^\infty(U)$?

Answer 1

Este es un caso particular de la Gagliardo-Nirenberg la desigualdad: $$\|D^ju\|_{L^p} \le C\|u\|_{L^q}^{1-\alpha} \|D^m u\|_{L^r}^\alpha,$$ donde $$1\le r,q\le \infty, \quad \frac{1}{p} = \frac{j}{n} + \left(\frac{1}{r} - \frac{m}{n}\right)\alpha + \frac{1-\alpha}{q} \quad \text{and} \quad \frac{j}{m} \le \alpha \le 1.$$ Hay dos casos en que se necesitan más restricciones, pero no se aplican a los suyos. Tomar $j=1$, $m=2$, $\alpha=\frac{1}{2}$, $p=2p$, $q=\infty$ y $r=p$.

Usted puede ver el resultado original en el papel En la elíptica de ecuaciones diferenciales parciales, por L. Nirenberg. Como referencia para este y otros resultados, me gusta especialmente el libro de Ecuaciones Diferenciales Parciales por Lawrence C. Evans.