Que $S=\{p\in \mathbb{Z}^+ : p\ \text{is prime and}\ p\equiv 1 \mod \ 4\}.$
¿Es $\displaystyle\sum_{p\in S}\frac{1}{p}$ finito o infinito, y donde puedo encontrar más información sobre ella?
Respuestas
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Gudmundur Orn
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Es infinito. En realidad
$$\sum_{p \equiv a \bmod b} \frac{1}{p}$$
es infinito para cualquier $a,b$ siempre como $\gcd(a,n) = 1$. Dirichlet demostró que esto diverge para demostrar su Teorema que infinitamente hay números primos en cualquier progresión aritmética $a, a + b, a + 2b, a + 3b, \ldots$ $\gcd(a,b) = 1$ mientras.
De hecho, sabemos un poco más. También sabemos que
$$\sum_{\substack{p \equiv a \bmod b \\ p < X}} \frac {1}{p} \to \frac{1}{\varphi(b)} \log \log X$$
$X \to \infty$. (Así que crece muy lentamente - muy lentamente a ser notado por el cómputo de la mayoría).
user133281
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Dirichlets teorema sobre progresiones aritméticas dice que hay una infinidad de números primos en cada una progresión aritmética $an+b$ donde $a$ $b$ coprime. En particular, existen infinitos números primos de la forma $4n+1$.
La prueba del teorema hace uso del análisis y, de hecho, muestra que la suma de $\sum_{p = an+b} \frac{1}{p}$ es divergente.
Para obtener más información, consulte aquí: del Teorema de Dirichlet sobre Primos en Progresiones Aritméticas de Wikipedia.
Voy a añadir algunas referencias de la literatura, comenzando con la Meissel–Mertens constante definida por (la suma es sobre todos, el de los números primos $p$) : $$M:=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{p\le n}\frac 1p-\ln\ln\,n\right)=\gamma+\sum_p\left(\ln\left(1-\frac 1p\right)+\frac 1p\right)$$ (obtenido después de notar que precisa de la divergencia de la suma de los recíprocos de los números primos)
Sobre los números primos modulo $k$ ($k=4$ en su caso) se puede comenzar con este artículo de Steven Pinzón "Mertens' Fórmula" (consulte la página $4$$\,p\equiv 1\bmod {4}$) y la relación $$M_{4,1}=\frac{\gamma}2-\ln\left(\frac 4{\sqrt{\pi}}K_1\right)+\sum_{p\equiv 1\bmod {4}}\left(\ln\left(1-\frac 1p\right)+\frac 1p\right)$$ con $K_1$ el de Landau-Ramanujan constante para el conteo de los enteros de la forma $a^2+b^2$ (ver demasiado Pinzón $2.3$ y Mathworld).
Referencias adicionales :
