¿Que ángulos planos en un enrejado del número entero son posibles?

Question

Como se muestra en esta pregunta, usted puede construir un ángulo de $A$ 3 número entero de puntos en un plano sólo si $\tan A$ es racional. Una generalización natural es preguntar qué valores puede planas de los ángulos de la base de 3 puntos en las 3 dimensiones entero entramado? Cómo acerca de n-dimensional de celosía?

Es fácil ver que el conjunto de alcanzable ángulos en el espacio 3D es mayor que en 2D: $\pi/3$ ángulo no es posible en 2D ($\tan \pi/3 \notin \mathbb{Q}$), pero es posible en 3D, es el ángulo en el triángulo con vértices $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$.

Answer 1

No sé acerca de $3$ o $4.$

No importa qué, cada ángulo de la toma de un entramado (que siempre tienen el vértice en el origen) ha $\cos^2 \theta$ racional, porque $$ \cos \theta = \frac{x \cdot y}{|x| \, |y|} $$

Tan pronto como estamos en la dimensión $5,$ podemos hacer lo que queramos de este tipo. Es fácil obtener un ángulo recto, incluso en la dimensión $2.$ Supongamos que queremos $$ \cos \theta = \frac{p}{\sqrt n} $$ with positive integers $p,n$ and $ p < \sqrt n,$ because a cosine cannot be larger than $1.$

Usted necesita saber que todo entero positivo es la suma de cuatro entero plazas. Tomar el entero positivo $n-p^2$ y escribo como $$ n-p^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2. $$

Estamos listos para definir los dos vectores en $\mathbb Z^5.$ $$ x = (1,0,0,0,0), $$ $$ y = (p,a,b,c,d). $$ A continuación,$x \cdot y = p$$|x|=1$$|y| = \sqrt n,$, por lo que $$ \cos \theta = \frac{p}{1 \cdot \sqrt n} $$

Oh, dada la forma en que me menciona por primera vez este, en la plaza de coseno racional, nos damos cuenta de que $$ \sqrt { \frac{u}{v} } = \sqrt { \frac{u^2}{uv} } = \frac{u}{\sqrt{uv}} $$ que es de la forma $p / \sqrt n.$

Answer 2

Se puede demostrar que es imposible (siempre impar $\cos^2 \theta = \frac{p}{2^3 q}$) que $\cos^2 \theta = \frac{p}{2^4 q}$ en 3D y $p$ en 4D. Esto sucede, porque $|x|^2=2^k$ no tiene soluciones primitivas entero $k>1$ (3D) y $k>2$ (4D), donde 'primitivo' significa que los componentes de $x$ son coprimos ($\gcd \{x_i\}_i=1)$. Claramente, en la red es suficiente para considerar vectores $x$ o $y$ con componentes de coprimos.