Usted ha hecho la conocida confusión entre la verdadera y comprobable. (Y a lo largo de esta respuesta voy a suponer que trabajamos en el clásico de la lógica de primer orden.)
Valor de verdad está dado en una determinada estructura. La hipótesis continua tiene un valor de verdad, sólo puede ser diferente en diferentes modelos de $\sf ZFC$. Y en cada modelo de $\sf ZF$ el axioma de la opción tiene un valor de verdad, pero en algunos modelos es cierto y en otros es falso.
El hecho de que una declaración no es demostrable a partir de una teoría en particular no le impide tener un valor de verdad, en un modelo particular de la teoría. Dos simples ejemplos son estos:
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$\forall x\forall y(x\cdot y=y\cdot x)$. Esto es verdad en el lenguaje de los grupos?
Bueno, en primer lugar la pregunta debería ser si esto es comprobable, no es cierto. La respuesta es que no es comprobable, ya que algunos grupos son abelian y otros no lo son.
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$\exists x\forall y(x\cdot x\cdot x=2\land y\cdot y\cdot y=2\rightarrow x=y)$, es decir, no hay una única raíz cúbica a $2$. Esto es verdad en el lenguaje de los campos?
De nuevo, la pregunta debería ser si esto es demostrable a partir de la teoría de los campos, y de nuevo la respuesta sería negativa. En $\Bbb Q$ $\Bbb C$ no hay ningún tipo de $x$, y tres $x$ respectivamente; y en $\Bbb R$ solo hay uno.
Permítanme una digresión por un momento, y analizar este error. Veo venir principalmente de dos fuentes posibles:
Mala terminología. A veces usamos "true en $T$" como sinónimo de "comprobable de $T$", debido a que la integridad teorema nos dice que $T$ demuestra algo si y sólo si es verdadera en todos los modelos de $T$. Por lo que a veces decimos cosas como "$\aleph_1\leq2^{\aleph_0}$ que es verdad en $\sf ZFC$" cuando en realidad queremos decir a decir que es demostrable.
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La incomprensión de la incompletitud, en particular en lo fundamental de las teorías. A veces es conveniente pensar que la teoría de conjuntos tiene un solo modelo, el universo de las matemáticas, en lugar de considerar que es igual a otras teorías como la teoría de grupos o campos, y entonces pensamos que si $\sf ZFC$ no se puede demostrar algo, entonces ese algo no tiene valor de verdad.
Pero esto es sólo un malentendido que dentro de una estructura dada (o un universo de las matemáticas, si se quiere), una declaración tiene un valor de verdad.
Entonces, ¿qué acerca de la paradoja del mentiroso? Si miramos la definición de un bien formado fórmula, que en realidad es, "una declaración legal" vas a ver que construimos por inducción a partir de la constante de símbolos y variables libres en nuestro idioma, a través de las relaciones y así sucesivamente.
Pero esto también significa que podemos dibujar un árbol y deconstruir una declaración a sus elementos primitivos. En la paradoja del mentiroso, "Este enunciado es falso", esto significa que la declaración de $\varphi$ es en el hecho de $\lnot\varphi$. Así que cuando dibujo el árbol sólo tenemos un ciclo, lo que significa que este no es un bien formado fórmula. Por lo que no se puede asignar un valor de verdad en cualquier estructura.
Pero espere, usted podría decir, ¿qué acerca del teorema de la incompletitud de Gödel, donde escribió una declaración "Esta afirmación no es demostrable"? Bien, esto no es del todo exacta. Hizo algo un poco más complicado que eso, pero esta respuesta es lo suficientemente largo como es, lo voy a dejar aquí y vamos a digerir lo que ya he escrito.
