pregunta sobre el mapa de cubierta normal desconectado

Question

Me he quedado en el problema en Hatcher, topología Algebraica, que afirman que si la cobertura de mapa de $q\circ p:X\rightarrow Y \rightarrow Z$ es normal, entonces la cobertura $p:X\rightarrow Y$ también es normal.

(Resolución de 16 en la Sección 1.3)

El desordenado parte de este problema (creo) es que él sólo da la condición de que cada espacio es localmente trayectoria-conectado.

De esta forma se abre el caso de que X no está conectado, por lo que la normalidad de la proyección de el grupo fundamental de la membrana que cubre el espacio no es suficiente para demostrar que $p$ es normal.

Creo que la prueba directa debería ser necesario, pero no tienen idea de lo que debo hacer.

Cualquier comentario acerca de este problema va a ser útil.

Answer 1

La definición de una normal (regular) de la cubierta es de que la cubierta de las transformaciones de la ley de transitivamente en cada fibra. Por lo tanto supongamos $y \in Y$$x_1,x_2 \in p^{-1}(\{y\})$. Entonces a partir de la $p(x_1)=p(x_2)$ obtenemos $q\circ p(x_1)=q \circ p(x_2)$ y por supuesto de $q\circ p$ es regular, y por tanto tenemos una baraja de transformación de $g:X \to X$ tal que $g(x_1)=x_2$. Pero tenga en cuenta que este es un mazo de transformación para $q \circ p$ e no $p$. Así que tenemos $q \circ p \circ g=q\circ p$. Ahora queremos $p \circ g=p$, pero esto no puede ocurrir, así que tenemos que modificar $g$ en cada componente conectado. Si $x_1$ $x_2$ se encuentran en la misma componente conectado de $X$, a continuación, definimos $h:X \to X$ a ser igual a $g$ en que el componente conectado, y es igual a la identidad de otra manera. Si se encuentran en diferentes componentes conectados, decir $x_i \in C_i$$i=1,2$, a continuación, defina $h:X \to X$ a ser igual a $g$ $C_1$ $g^{-1}$ $C_2$ y la identidad de los otros componentes conectados.

Necesidad de comprobar que las $p \circ h=p$ en ambos casos.