Muy interesante, los resultados pueden lograr fácilmente usando números complejos

Question

Acabo de mirar un libro de texto de cálculo preparando mi clase de la próxima semana en los números complejos. Me pareció interesante ver como un ejercicio, una manera de calcular la costumbre de primer año de cálculo de las integrales $\int e^{ax}\cos{bx}\ dx$ $\int e^{ax}\sin{bx}\ dx$ tomando la parte real e imaginaria de la "compleja" integral $\int e^{(a + bi)x} \ dx$.

Así que mi pregunta es si saben de otros "relativamente interesante" los resultados que se pueden obtener fácilmente mediante el uso de números complejos.

Puede ser algo que uno se puede presentar a los estudiantes de ingeniería de tomar la habitual secuencia de cálculo, pero también estoy interesado en algo más avanzado ejemplos (si está disponible bajo la condición de que el proceso para acceder a ellos es algo fácil, o no demasiado largo). Gracias a todos.

Answer 1

Me encontré con esta mancha de la prueba de la fórmula de Herón en artofproblemsolving.com el otro día. Fórmula de herón se obtiene el área de un triángulo dadas las longitudes de sus tres lados: $$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ where $ s = \frac{1}{2}(a+b+c)$. La totalidad de la prueba, por estudiante de secundaria Millas Dillon Edwards, se tiene aquí por reproducida.

Deje $I$ ser el centro de la circunferencia inscrita de $\triangle ABC$. Vamos $a = y + z$, $b = x + z$, y $c = x + y$ ser las longitudes de los lados opuestos $A$, $B$, y $C$, respectivamente, y vamos a $s = x + y + z$ ser el semiperimeter del triángulo. Claramente $2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = 2\pi$, por lo que $\alpha + \beta + \gamma = \pi$. Ahora note que $$(r + ix)(r + iy)(r + iz) = (u e^{i \alpha})(v e^{i \beta})(w e^{i \gamma}) = u v w e^{i(\alpha+\beta+\gamma)} = u v w e^{\pi i} = −uvw.$$ Por lo tanto $$0 = \text{Im}[(r + ix)(r + iy)(r + iz)] = r^2(x + y + z) − xyz,$$ así $$r = \sqrt{\frac{x y z}{x + y + z}} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$$. Por lo tanto el área de $\triangle ABC$ es $$\frac{r}{2} + \frac{r b}{2} + \frac{r}{2} = r s = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

Answer 2

Como Dylan Wilson comentarios en Byron enlace, se puede derivar la mayoría de identidades trigonométricas gracias a la fórmula de Euler:

$$ e^{i\theta} = \cos \theta + \sin \theta \ . $$

Por ejemplo, yo nunca podría aprender de memoria la fórmula para el coseno o seno de la suma de dos ángulos, pero en una mano

$$ e^{i(\alpha + \beta)} = e^{i\alpha} \cdot e^{i\beta} = (\cos\alpha \cos\beta\sin\alpha\sin\beta) + i (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha \sin\beta) \ . $$

Y por otro lado:

$$ e^{i(\alpha + \beta)} = \cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta) \ . $$

Así

$$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta\sin\alpha\sin\beta $$

y

$$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \ . $$

Answer 3

Me gustaría mencionar otro combinatoria resultado, esta vez sobre asymptotics. Deje $a_n$ denotar el número de maneras en que $n$ caballos puede terminar en una carrera (con bridas); en otras palabras, $a_n$ es el número de "listas de (vacío) establece" con $n$ total de los miembros. La generación de la función de métodos que permiten deducir que

$$A(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n!} z^n = \frac{1}{1 - (1 - e^z)} = \frac{1}{2 - e^z}.$$

Esta función es meromorphic, por lo que el comportamiento asintótico de $a_n$ es controlado por sus polos. El polo dominante se produce en $z = \ln 2$ con residuo $-\frac{1}{2}$, lo que significa que el comportamiento asintótico de $a_n$ está dado por

$$\frac{a_n}{n!} \approx \frac{1}{2 (\ln 2)^{n+1}}.$$

Tan lejos, tan real de la variable. Donde los números complejos? El error de esta aproximación es controlado por el resto de los postes de $A(z)$, todos de los cuales son complejos. El próximo dos de los más dominante polos están en $\ln 2 \pm 2 \pi i$ con el mismo residuo, lo que significa que el comportamiento asintótico de que el error está dado por

$$\frac{a_n}{n!} - \frac{1}{2 (\ln 2)^{n+1}} \approx \frac{1}{2 (\ln 2 + 2 \pi i)^{n+1}} + \frac{1}{2 (\ln 2 - 2 \pi i)^{n+1}}.$$

Dejando $\frac{1}{\ln 2 + 2 \pi i} = r e^{i \theta}$ donde$r = \frac{1}{\sqrt{(\ln 2)^2 + 4 \pi^2}}$$\theta = -\arctan \frac{2 \pi}{\ln 2}$, se deduce que

$$\frac{a_n}{n!} - \frac{1}{2(\ln 2)^{n+1}} \approx r^{n+1} \cos (n+1)\theta.$$

En otras palabras, el error en la anterior aproximación cuasi-periódica. (Por supuesto que hay infinitamente muchos polacos, cada par de los que también contribuye cuasi-periódicos de las condiciones, pero como $n$ se convierte en grande estos términos se vuelven menos y menos importante, la mayoría del tiempo). Este es un fenómeno que se puede ver fácilmente por sí mismo en realidad, se calcula el error de varios valores consecutivos de $n$.

Así que piensa acerca de esto: incluso si adivinaron correctamente el comportamiento asintótico de $a_n$ (por ejemplo al hacer una tabla de los valores de $\frac{a_n}{n!}$ (o su inverso, si usted está interesado en la probabilidad de que no hay lazos en la carrera) y darse cuenta de que el número de dígitos crece linealmente), e incluso si usted calcula experimentalmente que el error en la aproximación es cuasi-periódicas, ¿cómo en la tierra puede deducir el valor de o $r$ o $\theta$ sin números complejos?

Answer 4

El útil de identidad

$$ \frac{1}{2} + \cos x + \cos 2x + \cdots + \cos nx = \frac{\sin (n+x/2)}{2 \sin (x/2)}$$

que aparece en el estudio de la serie de Fourier es más fácilmente demostrado por la sustitución de todos los $\cos(kx)$ sobre el lado izquierdo con $$\cos(kx)=\frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}$$ y aplicando la fórmula de la suma de la serie geométrica.

Answer 5

Usted puede obtener algunas ideas de este MathOverflow hilo: http://mathoverflow.net/questions/30156/demystifying-complex-numbers/30185