Veo que la curva de Peano es un surjection continuo desde el intervalo de unidad a la Plaza de la unidad (corríjanme si me equivoco). ¿Entonces sigue que hay una inyección continua de la unidad cuadrada para el intervalo de unidad?
¡Gracias!
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DiGi
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Supongamos que $f:[0,1]^2\to[0,1]$ es una inyección continua. $[0,1]^2$ es compacto y conectado, así $f\big[[0,1]^2\big]$ debe ser compacto y conectado; puesto que no es un singleton, debe ser un intervalo cerrado y sin pérdida de generalidad podemos suponer que es $[0,1]$ sí mismo, así que el $f$ es un bijection continuo.
Ahora observe que $[0,1]\setminus\left\{\frac12\right\}$ no está conectado, pero $[0,1]^2\setminus f^{-1}\left(\frac12\right)$ está conectado, y por lo tanto $f$ no es continuo después de todo.
lhf
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rck
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Nº invariación del dominio implica que esto no es posible.
Las otras tres respuestas dar razones de por qué no es continua inyección de la unidad de la plaza a la unidad de intervalo. Pero quería mostrar por qué estás específicos argumento falla.
El problema es que una continua surjection $f:[0,1]\rightarrow [0,1]^2 $ va a dejar de ser inyectiva. La rápida razón es que un inyectiva mapa continuo entre el compacto de Hausdorff espacios es automatcally un homeomorphism a su imagen, y $[0,1]$ $[0,1]^2$ no homeomórficos (como las otras respuestas muestran).
Así, desde la $f$ es surjective, hay una relación inversa entre la inyectiva función de $g:[0,1]^2\rightarrow [0,1]$, pero implica la realización de muchas opciones. Esto es porque cuando usted tiene $y=f(x_1) = f(x_2)$$x_1\neq x_2$, entonces usted debe hacer una selección de $g(y)$. Debe $g(y) = x_1$ o $g(y) = x_2$? (En el peor de los casos, no hay sólo $2$ diferentes $x$s de la asignación a la misma $y$, pero a veces infinitamente muchos).
¿Cómo se puede hacer esa elección? Así que usted puede, pero no en cualquier canónica de la moda. Por lo tanto, mientras que usted consigue una función inyectiva $g:[0,1]^2\rightarrow [0,1]$, debido a todas las opciones que tenía que hacer, no va a ser continua.
